2 \cos x+\operatorname{sen} 2 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
2\cos x + \operatorname{sen} 2x = 0.
O conteúdo aqui é equações trigonométricas que usam a identidade de ângulo duplo
\operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x.

Passo 2

Aplicamos a identidade de ângulo duplo na equação:
2\cos x + \operatorname{sen} 2x = 2\cos x + 2\operatorname{sen} x\cos x = 0.

Passo 3

Fatoramos 2\cos x:
2\cos x\,(1 + \operatorname{sen} x) = 0.
Assim, a solução surge dos dois fatores nulos:

Passo 4

  1. 2\cos x = 0 implica
\cos x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
  1. 1 + \operatorname{sen} x = 0 implica
\operatorname{sen} x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3\pi}{2} + 2m\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
Note que as soluções de \operatorname{sen} x=-1 já estão contidas em x = \frac{\pi}{2} + k\pi (quando k é ímpar).

Resposta

x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

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