Uma partícula se move numa linha reta com velocidade dada pela função v(t)=\operatorname{sen} \omega t \cos ^{3} \omega t. Encontre a função posição s=f(t) se f(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade
v(t)=\sin(\omega t)\,\cos^3(\omega t)
de uma partícula em movimento retilíneo e pede a posição s=f(t) sabendo que f(0)=0.
Para resolver, basta lembrar que posição é a primitiva de velocidade e usar método de substituição em integrais.

Passo 2

Escrevemos
f(t)=\int v(t)\,\mathrm{d}t =\int \sin(\omega t)\,\cos^3(\omega t)\,\mathrm{d}t.
Fazemos a substituição
u=\cos(\omega t) \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}u=-\omega\,\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad \sin(\omega t)\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{\omega}\,\mathrm{d}u.

Passo 3

A integral fica
\int \sin(\omega t)\,\cos^3(\omega t)\,\mathrm{d}t =-\frac{1}{\omega}\int u^3\,\mathrm{d}u =-\frac{1}{\omega}\cdot\frac{u^4}{4}+C =-\frac{\cos^4(\omega t)}{4\omega}+C.
Ou seja,
f(t)=-\frac{\cos^4(\omega t)}{4\omega}+C.

Passo 4

Usamos a condição inicial f(0)=0. Como \cos(0)=1,
f(0)=-\frac{1^4}{4\omega}+C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{4\omega}.
Logo a posição é
f(t) =-\frac{\cos^4(\omega t)}{4\omega}+\frac{1}{4\omega} =\frac{1-\cos^4(\omega t)}{4\omega}.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1-\cos^4(\omega t)}{4\omega}.

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