Exercício 3.21 Mostre que as matrizes
formam um sistema de geradores para o subespaço
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as matrizes
geram o subespaço
ou seja, mostrarmos que qualquer matriz simétrica
pode ser escrita como combinação linear de
.
Passo 2
Primeiro notamos que cada
já está em
, pois
. Logo
.
Passo 3
Agora tomemos uma matriz genérica em
. Como é simétrica, ela tem a forma
para alguns escalares
.
Passo 4
Basta então escolher coeficientes de modo que
Isso mostra que
.
Resposta
As matrizes
geram
, pois qualquer
pode ser escrita como