Exercício 3.21 Mostre que as matrizes
A_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad, \quad A_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad A_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
formam um sistema de geradores para o subespaço W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) / A=A^{t}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
geram o subespaço
W=\{A\in M_{2}(\mathbb{R})\mid A=A^t\},
ou seja, mostrarmos que qualquer matriz simétrica 2\times2 pode ser escrita como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.

Passo 2

Primeiro notamos que cada A_{i} já está em W, pois A_{i}=A_{i}^t. Logo \operatorname{span}\{A_{1},A_{2},A_{3}\}\subseteq W.

Passo 3

Agora tomemos uma matriz genérica em W. Como é simétrica, ela tem a forma
A=\begin{pmatrix}a & b\b & c\end{pmatrix},
para alguns escalares a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 4

Basta então escolher coeficientes de modo que
a\,A_{1}+c\,A_{2}+b\,A_{3} =\;a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix} =A.
Isso mostra que A\in\operatorname{span}\{A_{1},A_{2},A_{3}\}.

Resposta

As matrizes A_{1},A_{2},A_{3} geram W, pois qualquer \begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}\in W pode ser escrita como
a\,A_{1}+c\,A_{2}+b\,A_{3}.

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