Reduzir a matriz A a uma forma escalonada B.
A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 4 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 5 & -3 & 4\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 4 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 5 & -3 & 4 \end{pmatrix}
e pede para reduzi-la a uma forma escalonada. O conteúdo é o método de eliminação de Gauss, que usa operações elementares sobre linhas para zerar os elementos abaixo de cada pivô.

Passo 2

Observamos que a primeira coluna de A é toda zero, então não há pivô em coluna 1. Passamos à coluna 2, cujo primeiro elemento não-nulo está em (1,2):
pivo_{1}=a_{1,2}=1.
Usamos esse pivô para zerar abaixo em coluna 2:
L_{2}\leftarrow L_{2}-4\,L_{1},\quad L_{4}\leftarrow L_{4}-5\,L_{1}.
Isso produz a matriz
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & -13 & 11\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & -18 & 14 \end{pmatrix}.

Passo 3

O próximo pivô deve estar em coluna 3, na primeira linha abaixo de L_{1}. Temos em L_{2} o valor -13 e em L_{3} o valor 2. Para facilitar, trocamos
L_{2}\leftrightarrow L_{3},
ficando o pivô
pivo_{2}=a_{2,3}=2.
Em seguida, eliminamos abaixo em coluna 3:
L_{3}\leftarrow L_{3}+\frac{13}{2}\,L_{2}, \quad L_{4}\leftarrow L_{4}+9\,L_{2}.
O resultado é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{35}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 23 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora o pivô seguinte está em (3,4):
pivo_{3}=a_{3,4}=\tfrac{35}{2}.
Usamos esse valor para zerar abaixo em coluna 4:
L_{4}\leftarrow L_{4}-\frac{23}{\tfrac{35}{2}}\,L_{3} =L_{4}-\frac{46}{35}\,L_{3},
o que torna L_{4} totalmente nula.

Passo 5

Terminadas as operações, a forma escalonada obtida é
B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{35}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{35}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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