Usando o resultado acima, determine a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver a parte homogênea (onde o lado direito é zero) e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea (com o
). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa, usamos o polinômio característico. Substituímos
por
e obtemos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Isso pode ser fatorado como:
Então, a raiz é
, com multiplicidade 2.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Nossa função não homogênea é
. Normalmente, tentaríamos métodos como o coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros, mas devido à forma complexa do lado direito, vamos usar a variação de parâmetros.
Passo 6
Para usar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da parte homogênea, que já temos:
Agora, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 7
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
e
é o Wronskiano das soluções homogêneas
e
.
Passo 8
Primeiro, calculamos o Wronskiano
:
Passo 9
Agora, calculamos
e
:
Passo 10
Integramos
e
para encontrar
e
:
Ignoramos as constantes de integração
pois já estão incorporadas na solução homogênea.
Passo 11
Substituímos
e
na expressão da solução particular:
Passo 12
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
e
são constantes arbitrárias.