Usando o resultado acima, determine a solução geral da EDO
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t(1+t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO
y'' - 2 y' + y = e^t1 + t^2
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver a parte homogênea (onde o lado direito é zero) e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea (com o e^t1 + t^2). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 2 y' + y = 0
Para resolver essa, usamos o polinômio característico. Substituímos y por e^rt e obtemos:
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso pode ser fatorado como:
(r - 1)^2 = 0
Então, a raiz é r = 1, com multiplicidade 2.

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da parte homogênea é:
yh(t) = (C1 + C2 t) e^t
Aqui, C1 e C2 são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa:
y'' - 2 y' + y = e^t1 + t^2
Nossa função não homogênea é e^t1 + t^2. Normalmente, tentaríamos métodos como o coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros, mas devido à forma complexa do lado direito, vamos usar a variação de parâmetros.

Passo 6

Para usar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da parte homogênea, que já temos:
y1(t) = e^t, y2(t) = t e^t
Agora, assumimos que a solução particular tem a forma:
yp(t) = u1(t) y1(t) + u2(t) y2(t)
Onde u1(t) e u2(t) são funções que vamos determinar.

Passo 7

Para encontrar u1(t) e u2(t), usamos as seguintes fórmulas:
u1'(t) = -y2(t) cdot g(t)W, u2'(t) = y1(t) cdot g(t)W
Onde g(t) = e^t1 + t^2 e W é o Wronskiano das soluções homogêneas y1 e y2.

Passo 8

Primeiro, calculamos o Wronskiano W:
W = y1 y2' - y2 y1' = e^t (e^t + t e^t) - t e^t cdot e^t = e^2t + t e^2t - t e^2t = e^2t

Passo 9

Agora, calculamos u1'(t) e u2'(t):
u1'(t) = -y2(t) cdot g(t)W = -t e^t cdot e^t1 + t^2e^2t = -t1 + t^2
u2'(t) = y1(t) cdot g(t)W = e^t cdot e^t1 + t^2e^2t = 11 + t^2

Passo 10

Integramos u1'(t) e u2'(t) para encontrar u1(t) e u2(t):
u1(t) = -integral t1 + t^2 dt = -12 ln(1 + t^2) + C
u2(t) = integral 11 + t^2 dt = tan^-1(t) + C
Ignoramos as constantes de integração C pois já estão incorporadas na solução homogênea.

Passo 11

Substituímos u1(t) e u2(t) na expressão da solução particular:
yp(t) = (-12 ln(1 + t^2)) e^t + tan^-1(t) cdot t e^t

Passo 12

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^t - 12 ln(1 + t^2) e^t + t tan^-1(t) e^t

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t) = (C1 + C2 t) e^t - 12 ln(1 + t^2), e^t + t, tan^-1(t), e^t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados