Um técnico sabe que duas baterias B_{1} e B_{2} de dois aparelhos tem 100 \% e 90 \% da carga total no momento quando os aparelhos foram ligados e as baterias se descargam a velocidade constante (ou linearmente) ao longo do tempo (os aparelhos tein que ficar ligados até que as baterias se descarregem). Um grupo de engenheiros e físicos sabem que a primeira bateria demora un teinpo de a horas para descarregar enquanto a bateria B_{2} demora duas horas mais do que a B_{1}. (Entre as perguntas 3-7 vocẽ pode usar as afirmações de perguntas anteriores ou posteriores se necessário. Ler cuidadosamente!)
O grupo de pesquisa está interessado em saber o tempo x no qual as duas baterias tem o mesmo percentual de carga y. Se z (resp, w ) for o parâmetro das equações da reta de descarga da bateria 1 (resp. da bateria 2) então provar que x, y, z e w estão ligados pelo seguinte sistema de equaçōes:
(*)\left\{\begin{aligned} x-0 y-a z+0 w & =0 \\\ x+(-a-2) w & =0 \\\ y+100 z & =100 \\\ y+90 w & =90 \end{aligned}\right.
onde a é uma constante.

Passo 1

Resumindo: temos duas baterias que se descarregam de modo linear no tempo. A bateria B_{1} parte de 100\% em t=0 e chega a 0\% em t=a. A bateria B_{2} parte de 90\% em t=0 e chega a 0\% em t=a+2. Queremos o instante x e o percentual y em que ambas têm carga igual, usando parâmetros z na reta de descarga de B_{1} e w na de B_{2}.

Passo 2

Modelamos a reta de descarga da bateria B_{1} por um parâmetro z: o ponto inicial é (0,100) e o vetor direção é \bigl(a,\,-100\bigr), pois em a horas cai de 100 a 0. Logo,
x = a\,z,
y = 100 - 100\,z.

Passo 3

Analogamente, para B_{2} usamos parâmetro w. O ponto inicial é (0,90) e o vetor direção é \bigl(a+2,\,-90\bigr), pois em a+2 horas vai de 90 a 0. Assim,
x = (a+2)\,w,
y = 90 - 90\,w.

Passo 4

No instante comum (x,y) z e w que satisfazem ambas as parametrizações. Escritas em forma de equações lineares, obtemos
x - a\,z = 0, \quad y + 100\,z = 100,
x - (a+2)\,w = 0, \quad y + 90\,w = 90.
Reagrupando em quatro equações com incógnitas x,y,z,w e inserindo coeficientes zero quando necessário, chegamos exatamente ao sistema
\begin{cases} x - 0\,y - a\,z + 0\,w = 0,\\\ x + 0\,y + (-a-2)\,w = 0,\\\ y + 100\,z = 100,\\\ y + 90\,w = 90. \end{cases}

Resposta

O sistema (*) está assim demonstrado:
(*)\quad \begin{cases} x - 0\,y - a\,z + 0\,w = 0,\\\ x + (-a-2)\,w = 0,\\\ y + 100\,z = 100,\\\ y + 90\,w = 90. \end{cases}

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