Cousidere A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=3 t-t^3, y=3 t^2, t in R
Determine em quais pontos da curva A a reta tangente é horizontal e em quais pontos ela é vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no plano, descrita pelas equações paramétricas $ x = 3t - t^3 $ e $ y = 3t^2 $, onde $ t $ é um número real. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais pontos dessa curva a reta tangente é horizontal e em quais ela é vertical.
Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas em curvas paramétricas. Isso vai nos ajudar a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para curvas parametrizadas por $ x(t) $ e $ y(t) $, a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é dada por:
x(t)
Então, vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Dadas as funções:
y(t)
y
Calculando as derivadas:
x
dydx = dydtdxdt

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ usando as derivadas que calculamos:
dydx

Passo 4

Para a reta tangente ser horizontal, a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ deve ser igual a zero. Então, vamos resolver:
dydx
Isso acontece quando o numerador é zero:
2t1 - t^2 = 0
Então, quando $ t = 0 $, a reta tangente é horizontal.
Para a reta tangente ser vertical, a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ deve ser indefinida, ou seja, o denominador é zero. Então, vamos resolver:
2t = 0 implies t = 0
Então, quando $ t = 1 $ ou $ t = -1 $, a reta tangente é vertical.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas $ (x, y) $ correspondentes a cada valor de $ t $:
  • Para $ t = 0 $:
    (x, y)
    t
    Ponto: $ (0, 0) $
  • Para $ t = 1 $:
    t = 0
    x = 3(0) - (0)^3 = 0
    Ponto: $ (2, 3) $
  • Para $ t = -1 $:
    y = 3(0)^2 = 0
    (0, 0)
    Ponto: $ (-2, 3) $

Resposta

A reta tangente à curva $ \mathcal{A} $ é horizontal no ponto $ (0, 0) $ e vertical nos pontos $ (2, 3) $ e $ (-2, 3) $.

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