Cousidere A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=3 t-t^3, y=3 t^2, t in R
Esboce a curva A no plano cartesiano Oxy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva planar, que é basicamente uma linha desenhada no plano cartesiano, definida por duas equações que dependem de um parâmetro, nesse caso, o $ t $. O nosso objetivo aqui é esboçar essa curva no plano Oxy, ou seja, desenhar como ela se comporta quando a gente varia o valor de $ t $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de curvas e como relacionar as variáveis $ x $ e $ y $ para traçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações que definem a curva:
x = 3t - t^3
y = 3t^2
Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia em todos os números reais ($ t \in \mathbb{R} $). Nosso objetivo é relacionar $ x $ e $ y $ sem o $ t $, para ter uma única equação que descreva a curva no plano Oxy.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro $ t $, vamos resolver uma das equações para $ t $ e substituir na outra. Olhando para a equação de $ y $:
t
Podemos resolver para $ t $:
t
Agora, vamos substituir esse valor de $ t $ na equação de $ x $:
y
Substituindo $ t $:
y = 3t^2
Isso deixa a relação um pouco complicada, então vamos tentar uma abordagem diferente: expressar $ y $ diretamente em termos de $ x $.

Passo 4

Outra maneira é reescrever a equação de $ x $ em termos de $ t $:
x
Podemos fatorar o termo $ t $:
t
Isso nos dá uma ideia das raízes e do comportamento da função $ x(t) $. Entretanto, para facilitar o esboço, vamos analisar o comportamento da curva parametrizada examinando diferentes valores de $ t $.

Passo 5

Vamos escolher alguns valores de $ t $ e calcular $ x $ e $ y $ correspondentes:
  • Para $ t = 0 $:
    t
  • Para $ t = 1 $:
    x
  • Para $ t = -1 $:
    y
  • Para $ t = 2 $:
    t = 0
  • Para $ t = -2 $:
    x = 0, y = 0
Esses pontos nos dão uma ideia de como a curva se comporta para diferentes valores de $ t $.

Passo 6

Observando os pontos calculados:
  • Quando $ t $ varia de negativo para positivo, a curva passa por $ ( -2, 3 ) $, $ (0, 0) $, e $ (2, 3 ) $, indicando que ela tem simetria em relação ao eixo $ y $.
  • Para valores maiores de $ |t| $, os valores de $ y $ aumentam, mas os de $ x $ começam a diminuir depois de certo ponto, formando uma espécie de loop.
Vamos também notar que, para cada valor positivo de $ t $, existe um correspondente negativo que gera o mesmo valor de $ y $ mas com $ x $ invertido, reforçando a simetria.

Passo 7

Com base nessas informações, podemos começar a esboçar a curva:
  1. Marque os pontos calculados no plano Oxy.
  2. Observe que a curva passa pela origem $ (0, 0) $ e forma um loop simétrico em torno do eixo $ y $.
  3. À medida que $ t $ aumenta positivamente, $ y $ cresce, mas $ x $ inicialmente aumenta até um certo ponto e depois diminui, criando o loop.
  4. O mesmo acontece para valores negativos de $ t $, mas refletido no lado oposto do eixo $ y $.

Resposta

Assim, ao esboçar a curva $ \mathcal{A} $ no plano cartesiano Oxy, observamos que ela possui um loop simétrico em torno do eixo $ y $, passando pela origem e atingindo pontos como $ (2, 3) $ e $ (-2, 3) $. À medida que $ t $ aumenta ou diminui, a curva se estende para cima aumentando $ y $, enquanto $ x $ oscila, formando o formato característico do loop.

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