(FACET, 2016 - SANTA RITA-PB) Um triângulo, cujos lados medem
,
e
, é semelhante a outro cujo perímetro é 10 m . Qual a medida do maior dos lados do triângulo menor?
Concursos para Magistério
(a) 1 m
(b)
(c) 3 m
(d) 4 m
(a) 1 m
(b)
(c) 3 m
(d) 4 m
Passo 1
O enunciado dá um triângulo com lados medindo
,
e
. Diz que há outro triângulo semelhante a esse cujo perímetro é
. A pergunta é: qual é a medida do maior dos lados do triângulo menor?
Informações relevantes:
- Lados do triângulo maior:
, , . - Perímetro do triângulo menor:
. - Os triângulos são semelhantes (logo, lados correspondentes são proporcionais).
- Queremos o maior lado do triângulo menor (correspondente ao lado de
no triângulo maior).
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): quando dois triângulos são semelhantes, todos os comprimentos correspondentes são proporcionais com o mesmo fator de escala. Isso vale para lados e para perímetros.
Definição do fator de escala:
- Seja
o fator de escala do triângulo menor em relação ao maior. Então, para qualquer lado correspondente,
- Como o perímetro é a soma dos lados, o perímetro também escala com o mesmo
:
Aqui:
é uma razão adimensional (sem unidade). Vou usar a relação entre perímetros para encontrar
, porque os perímetros são números fáceis de somar e foram dados.
Passo 3
Calcular o perímetro do triângulo maior somando os três lados que o enunciado deu:
Fazendo a soma:
Passo 4
Usar a relação entre perímetros para achar o fator de escala
:
Simplificando a fração:
Explicação curta: isso significa que cada comprimento no triângulo menor vale um quinto do correspondente no triângulo maior.
Passo 5
Calcular o maior lado do triângulo menor usando
e o maior lado do triângulo maior (
):
Fazendo a multiplicação/divisão:
Verificação rápida (opcional): os outros lados seriam
e
. A soma
, que bate com o perímetro dado.