(FACET, 2016 - SANTA RITA-PB) Um triângulo, cujos lados medem 12 m, 18 m e 20 m, é semelhante a outro cujo perímetro é 10 m . Qual a medida do maior dos lados do triângulo menor?
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(b) 2 m
(c) 3 m
(d) 4 m

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com lados medindo 12\\ \text{m}, 18\\ \text{m} e 20\\ \text{m}. Diz que há outro triângulo semelhante a esse cujo perímetro é 10\\ \text{m}. A pergunta é: qual é a medida do maior dos lados do triângulo menor?
Informações relevantes:
  • Lados do triângulo maior: 12\\ \text{m}, 18\\ \text{m}, 20\\ \text{m}.
  • Perímetro do triângulo menor: 10\\ \text{m}.
  • Os triângulos são semelhantes (logo, lados correspondentes são proporcionais).
  • Queremos o maior lado do triângulo menor (correspondente ao lado de 20\\ \text{m} no triângulo maior).

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): quando dois triângulos são semelhantes, todos os comprimentos correspondentes são proporcionais com o mesmo fator de escala. Isso vale para lados e para perímetros.
Definição do fator de escala:
  • Seja k o fator de escala do triângulo menor em relação ao maior. Então, para qualquer lado correspondente,
\text{lado menor} = k \times \text{lado maior}.
  • Como o perímetro é a soma dos lados, o perímetro também escala com o mesmo k:
\text{perímetro menor} = k \times \text{perímetro maior}.íí
Aqui: k é uma razão adimensional (sem unidade). Vou usar a relação entre perímetros para encontrar k, porque os perímetros são números fáceis de somar e foram dados.

Passo 3

Calcular o perímetro do triângulo maior somando os três lados que o enunciado deu:
\text{perímetro maior} = 12 + 18 + 20.í
Fazendo a soma:
\text{perímetro maior} = 50\\ \text{m}.í

Passo 4

Usar a relação entre perímetros para achar o fator de escala k:
k = \dfrac{\text{perímetro menor}}{\text{perímetro maior}} = \dfrac{10}{50}.íí
Simplificando a fração:
k = \dfrac{1}{5}.
Explicação curta: isso significa que cada comprimento no triângulo menor vale um quinto do correspondente no triângulo maior.

Passo 5

Calcular o maior lado do triângulo menor usando k e o maior lado do triângulo maior ( 20\\ \text{m}):
\text{maior lado menor} = k \times 20 = \dfrac{1}{5}\times 20.
Fazendo a multiplicação/divisão:
\text{maior lado menor} = 4\\ \text{m}.
Verificação rápida (opcional): os outros lados seriam \dfrac{12}{5}=2{,}4\\ \text{m} e \dfrac{18}{5}=3{,}6\\ \text{m}. A soma 2{,}4+3{,}6+4=10\\ \text{m}, que bate com o perímetro dado.

Resposta

4\\ \text{m}

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