(FACET, 2016 - SANTA RITA-PB) De um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamse duas secantes, r e s. As distâncias do ponto P aos pontos de intersecção de r com a circunferência medem 12 m e 3 m. Qual o valor da maior distância do ponto P ao ponto de intersecção de s com a circunferência, sabendo que a menor dessas distâncias é 4 m ?
(a) 5 m
(b) 6 m
(c) 7 m
(d) 8 m

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • De um ponto P exterior a uma circunferência são traçadas duas secantes r e s.
  • As distâncias de P aos pontos de intersecção de r com a circunferência são 12\\ \text{m} e 3\\ \text{m}.
  • Para a secante s, a menor das duas distâncias de P aos pontos de intersecção é 4\\ \text{m}.
    O enunciado pede: qual é o valor da maior dessas duas distâncias de P aos pontos de intersecção de s com a circunferência?

Passo 2

Fórmula-chave (declarei as variáveis): considere duas secantes que partem de P e cortam a circunferência em pontos A,B (pela secante r, com ordem P- A- B) e em pontos C,D (pela secante s, com ordem P- C- D). Denotemos
  • PA = distância de P até a intersecção mais próxima na secante r;
  • PB = distância de P até a intersecção mais afastada na secante r;
  • PC = distância de P até a intersecção mais próxima na secante s;
  • PD = distância de P até a intersecção mais afastada na secante s.
A propriedade que vamos usar é a seguinte:
PA\cdot PB = PC\cdot PD.
Explicação (intuição/motivação): essa igualdade vem da semelhança de certos triângulos formados pelas secantes e cordas da circunferência — geometricamente, os ângulos inscritos que interceptam os mesmos arcos fazem surgir triângulos semelhantes, e a semelhança dá exatamente o produto indicado. Não é necessário decorar provas para a prova: o que importa é saber que, para um ponto exterior a uma circunferência, o produto das distâncias até os dois pontos de intersecção é o mesmo para todas as secantes que passam por esse ponto.

Passo 3

Aplicando a fórmula à secante r: as distâncias dadas são PA=3\\ \text{m} (a mais próxima) e PB=12\\ \text{m} (a mais afastada). Logo o produto é
PA\cdot PB = 3\cdot 12 = 36\\ \text{m}^2.
Esse valor 36\\ \text{m}^2 é a constante (o “potencial” de P em relação à circunferência) que vale para qualquer secante a partir de P.

Passo 4

Agora para a secante s: seja PC=4\\ \text{m} a menor distância (dado do enunciado) e seja PD=x\\ \text{m} a maior distância que queremos encontrar. Pela propriedade,
PC\cdot PD = 36.
Substituindo PC=4 obtemos a equação
4\cdot x = 36.
Resolvendo para x:
x = \frac{36}{4} = 9\\ \text{m}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: a maior distância pedida é 9\\ \text{m}. É sempre bom lembrar: o raciocínio reduz-se a calcular o produto das duas distâncias de uma secante (a partir do mesmo ponto exterior) e igualá-lo ao produto das distâncias da outra secante; daí vem a divisão simples.

Resposta

9\\ \text{m}

Exercícios relacionados