(FACET, 2016 - SANTA RITA-PB) De um ponto
, exterior a uma circunferência, traçamse duas secantes,
e
. As distâncias do ponto
aos pontos de intersecção de r com a circunferência medem
e
. Qual o valor da maior distância do ponto P ao ponto de intersecção de
com a circunferência, sabendo que a menor dessas distâncias é
?
(a)
(b) 6 m
(c) 7 m
(d) 8 m
(a)
(b) 6 m
(c) 7 m
(d) 8 m
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- De um ponto
exterior a uma circunferência são traçadas duas secantes e . - As distâncias de
aos pontos de intersecção de com a circunferência são e . - Para a secante
, a menor das duas distâncias de aos pontos de intersecção é .
O enunciado pede: qual é o valor da maior dessas duas distâncias deaos pontos de intersecção de com a circunferência?
Passo 2
Fórmula-chave (declarei as variáveis): considere duas secantes que partem de
e cortam a circunferência em pontos
(pela secante
, com ordem
-
-
) e em pontos
(pela secante
, com ordem
-
-
). Denotemos
-
= distância de até a intersecção mais próxima na secante ; -
= distância de até a intersecção mais afastada na secante ; -
= distância de até a intersecção mais próxima na secante ; -
= distância de até a intersecção mais afastada na secante .
A propriedade que vamos usar é a seguinte:
Explicação (intuição/motivação): essa igualdade vem da semelhança de certos triângulos formados pelas secantes e cordas da circunferência — geometricamente, os ângulos inscritos que interceptam os mesmos arcos fazem surgir triângulos semelhantes, e a semelhança dá exatamente o produto indicado. Não é necessário decorar provas para a prova: o que importa é saber que, para um ponto exterior a uma circunferência, o produto das distâncias até os dois pontos de intersecção é o mesmo para todas as secantes que passam por esse ponto.
Passo 3
Aplicando a fórmula à secante
: as distâncias dadas são
(a mais próxima) e
(a mais afastada). Logo o produto é
Esse valor
é a constante (o “potencial” de
em relação à circunferência) que vale para qualquer secante a partir de
.
Passo 4
Agora para a secante
: seja
a menor distância (dado do enunciado) e seja
a maior distância que queremos encontrar. Pela propriedade,
Substituindo
obtemos a equação
Resolvendo para
:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: a maior distância pedida é
. É sempre bom lembrar: o raciocínio reduz-se a calcular o produto das duas distâncias de uma secante (a partir do mesmo ponto exterior) e igualá-lo ao produto das distâncias da outra secante; daí vem a divisão simples.