Deseja-se resfriar uma solução de etanol ( 50 \% ) à vazão de 8,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de 75^{\circ} \mathrm{C} para 45^{\circ} \mathrm{C}. O fluido de resfriamento é água a uma vazão de 9,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e temperatura de entrada igual a 15^{\circ} \mathrm{C}. O trocador de calor cogitado para esse serviço pode ser:
(1) duplo tubo com escoamento concorrente;
(2) duplo tubo com escoamento contracorrente;
(3) feixe tubular com 1 passe pelo lado do casco (água) e 2 passes no lado dos tubos.
Por simplificação, adota-se que em todos os casos o Ue é igual a 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) carga térmica do TC
b) temperatura de saída da água de resfriamento
c) a área de troca térmica para cada um dos casos.
Numa primeira análise, qual trocador de calor é o mais vantajoso?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Solução de etanol (50 % em massa) — fluido quente:
    • vazão mássica \dot{m}_h = 8{,}7\\ \mathrm{kg/s},
    • temperatura de entrada T_{h,i}=75^\circ\mathrm{C},
    • temperatura de saída desejada T_{h,o}=45^\circ\mathrm{C}.
  • Água (fluido de resfriamento) — fluido frio:
    • vazão mássica \dot{m}_c = 9{,}6\\ \mathrm{kg/s},
    • temperatura de entrada T_{c,i}=15^\circ\mathrm{C},
    • temperatura de saída T_{c,o} desconhecida (a determinar).
  • Coeficiente global de transferência de calor igual em todos os casos: U_e = 500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
  • Três configurações de trocador a considerar:
    1. duplo tubo (tubo duplo) com escoamento concorrente (co-corrente),
    2. duplo tubo com escoamento contracorrente,
    3. feixe tubular (shell-and-tube) com 1 passe no casco (água) e 2 passes no lado dos tubos (configuração 1-shell 2-tube-pass).
O enunciado pede:
a) a carga térmica do trocador ( Q);
b) a temperatura de saída da água de resfriamento ( T_{c,o});
c) a área de troca térmica A para cada um dos três casos (1), (2) e (3);
d) numa primeira análise, indicar qual trocador é o mais vantajoso.
Observações / hipóteses necessárias (explicitadas):
  • Para calcular Q precisamos do calor específico da solução etanol-água (50 % em massa). Vou aproximar o calor específico da mistura por média em massa dos componentes (hipótese comum para primeiros cálculos):
    • c_{p,\text{água}} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á,
    • c_{p,\text{etanol}} \approx 2{,}44\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 2440\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
      Como a solução é 50\% em massa, adotamos
    c_{p,h} = 0{,}5\cdot 4180 + 0{,}5\cdot 2440 = 3310\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Para a água fria usaremos c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Admitimos equilíbrio energético sem perdas: o calor perdido pelo fluido quente é ganho pela água.
  • Para calcular a área A usaremos a relação de resfriador com LMTD (log mean temperature difference) e, quando necessário, fator de correção F: Q = U_e\,A\,\Delta T_\text{lm}\,F.Para trocadores co-corrente e contracorrente simples, F=1. Para a configuração shell-and-tube (1 shell pass, 2 tube passes) existe um fator de correção F<1 que deve ser obtido via gráficos/expressão em função dos parâmetros R e P; aqui vou calcular R e P e usar um valor estimado razoável de F a partir das curvas padrão (ver explicação no passo respectivo).
A resolução verdadeira começa a seguir.

Passo 2

Cálculo do calor específico da mistura (expliquei a hipótese na etapa anterior).
c_{p,h}=0{,}5\cdot 4180 + 0{,}5\cdot 2440 = 3310\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Interpretação: como a mistura é 50% em massa, aproximamos o calor específico como média aritmética ponderada das frações em massa.)

Passo 3

Cálculo da carga térmica do trocador Q. A carga térmica é o calor que o fluido quente perde ao ser resfriado:
Q=\dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,i}-T_{h,o}).
Substituindo valores:
Q = 8{,}7\cdot 3310\cdot(75-45)\\ \mathrm{J/s}.
Calcule passo a passo:
75-45 = 30,
c_{p,h}\cdot 30 = 3310\cdot 30 = 99\,300\\ \mathrm{J/(kg\cdot s)},
Q = 8{,}7\cdot 99\,300 = 863\,910\\ \mathrm{W}.
Portanto a carga térmica é
\boxed{Q = 863\,910\\ \mathrm{W}\\ \text{(aprox.\\ }864\\ \mathrm{kW}\text{).}}

Passo 4

Cálculo da temperatura de saída da água T_{c,o} por balanço de energia (todo o calor perdido pelo quente é ganho pela água):
Q=\dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,o}-T_{c,i}).
Isolando T_{c,o}:
T_{c,o}=T_{c,i}+\dfrac{Q}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}.
Substituindo números:
\dot{m}_c\,c_{p,c} = 9{,}6\cdot 4180 = 40\,128\\ \mathrm{J/(s\cdot K)}.
\dfrac{Q}{\dot{m}_c c_{p,c}} = \dfrac{863\,910}{40\,128} \approx 21{,}5289\\ \mathrm{K}.
T_{c,o} = 15 + 21{,}5289 = 36{,}5289^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com sentido prático:
\boxed{T_{c,o}\approx 36{,}53^\circ\mathrm{C}.}
Observação física: o valor está entre as temperaturas de entrada e saída do fluido quente (45 e 75) e é menor que T_{h,o}=45^\circ\mathrm{C}, o que é consistente (a água não pode aquecer além do fluido quente de saída no caso co-corrente; em contracorrente a água poderia subir até perto de 45^\circ\mathrm{C} se as capacidades fossem compatíveis, mas aqui fica em \approx36{,}5^\circ\mathrm{C}).

Passo 5

Explicar o conceito de LMTD (diferença de temperatura média logarítmica) e calcular para os casos co-corrente e contracorrente.
O LMTD é a média logarítmica das diferenças de temperatura entre os dois fluidos nas extremidades do trocador. Para um trocador com diferença terminal \Delta T_1 e \Delta T_2,
\Delta T_\text{lm} = \dfrac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\big)}.
Definições das diferenças para os dois arranjos:
  • co-corrente (concorrente): \Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,i},\qquad \Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,o}.
  • contracorrente: \Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,o},\qquad \Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,i}.
Já calculamos T_{c,o}. Vamos agora calcular os \Delta T e os \Delta T_\text{lm}.
Para co-corrente:
\Delta T_1 = 75 - 15 = 60\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 45 - 36{,}5289 = 8{,}4711\\ ^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_\text{lm,co} = \dfrac{60 - 8{,}4711}{\ln\!\big(\dfrac{60}{8{,}4711}\big)} = \dfrac{51{,}5289}{\ln(7{,}0859)} \approx \dfrac{51{,}5289}{1{,}9561} \approx 26{,}35^\circ\mathrm{C}.
Para contracorrente:
\Delta T_1 = 75 - 36{,}5289 = 38{,}4711\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 45 - 15 = 30\\ ^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_\text{lm,counter} = \dfrac{38{,}4711 - 30}{\ln\!\big(\dfrac{38{,}4711}{30}\big)} = \dfrac{8{,}4711}{\ln(1{,}28237)} \approx \dfrac{8{,}4711}{0{,}2487} \approx 34{,}06^\circ\mathrm{C}.
Resultado:
\boxed{\Delta T_{\text{lm,co}}\approx 26{,}35^\circ\mathrm{C},\qquad \Delta T_{\text{lm,counter}}\approx 34{,}06^\circ\mathrm{C}.}
Interpretação: a configuração contracorrente dá uma \Delta T_\text{lm} maior, logo para o mesmo Q e U requer área menor — por isso contracorrente é geralmente mais eficiente.

Passo 6

Cálculo da área A para o caso (1) — duplo tubo co-corrente.
Fórmula básica (aqui F=1 para trocador co-corrente simples):
Q = U_e\,A\,\Delta T_\text{lm}.
Isolando A:
A = \dfrac{Q}{U_e\,\Delta T_\text{lm}}.
Substituindo para o caso co-corrente:
A_{(1)} = \dfrac{863\,910}{500\cdot 26{,}349} \approx \dfrac{863\,910}{13\,174{,}5} \approx 65{,}54\\ \mathrm{m^2}.
\boxed{A_{(1)}\approx 65{,}5\\ \mathrm{m^2}.}

Passo 7

Cálculo da área A para o caso (2) — duplo tubo contracorrente.
Aqui também F=1 (contracorrente simples):
A_{(2)} = \dfrac{Q}{U_e\,\Delta T_{\text{lm,counter}}} = \dfrac{863\,910}{500\cdot 34{,}057} \approx \dfrac{863\,910}{17\,028{,}5} \approx 50{,}73\\ \mathrm{m^2}.
\boxed{A_{(2)}\approx 50{,}7\\ \mathrm{m^2}.}
Comparação imediata: contracorrente exige área menor que concorrente (50,7 m^2 vs 65,5 m^2) — ganho de eficiência significativo.

Passo 8

Cálculo da área A para o caso (3) — feixe tubular com 1 passe no casco e 2 passes nos tubos.
Explicação didática sobre fator de correção F:
  • Quando o trocador não é um simples co- ou contracorrente, usa-se a fórmula de LMTD com um fator de correção F que leva em conta a topologia (número de passes, mistura no casco, etc.): Q = U_e\,A\,\Delta T_\text{lm,counter}\,F,onde \Delta T_\text{lm,counter} é a LMTD do caso equivalente contracorrente formada pelos terminais (usada como referência) e F é o fator de correção ( 0<F\le 1 ). Para 1 shell pass / 2 tube passes, F depende dos parâmetros adimensionais R e P, definidos por: R = \dfrac{T_{h,i}-T_{h,o}}{T_{c,o}-T_{c,i}},\qquad P = \dfrac{T_{c,o}-T_{c,i}}{T_{h,i}-T_{c,i}}.Esses são os mesmos R e P usados nos gráficos/expressões para obter F em tabelas ou manuais (por exemplo Kays & London, Incropera etc.). Para sermos autossuficientes aqui calculamos R,P e, em seguida, adotar um valor de F compatível com os gráficos padrão (já que a expressão analítica é longa e habitualmente consulta-se gráfico ou tabela).
Calculemos R e P com os números que já temos:
R = \dfrac{75-45}{36{,}5289-15} = \dfrac{30}{21{,}5289} \approx 1{,}3932,
P = \dfrac{21{,}5289}{75-15} = \dfrac{21{,}5289}{60} \approx 0{,}3588.
Interpretação prática e escolha de F:
  • Para um trocador 1-shell 2-tube-pass, os gráficos de fator de correção F(R,P) geralmente mostram valores de F próximos de 1 quando R está próximo de 1 e P moderado; para R\sim 1{,}4 e P\sim 0{,}36 um valor típico de F é aproximadamente entre 0{,}9 e 0{,}96. (Em provas costuma-se usar o gráfico de correção; como não o reproduzo aqui, tomo um valor razoável e explícito para seguir com o cálculo).
  • Vou usar um valor estimado e conservador de: F \approx 0{,}93.(Justificação: é um valor comum obtido nos gráficos para a faixa R\approx 1{,}4,\\ P\approx 0{,}36. Se o leitor tiver a tabela/gráfico, pode inserir o F mais preciso; a sensibilidade do A a F será mostrada em seguida.)
Agora calculamos a área:
A_{(3)} = \dfrac{Q}{U_e\,\Delta T_{\text{lm,counter}}\,F} = \dfrac{863\,910}{500\cdot 34{,}057 \cdot 0{,}93}.
Calcule o denominador:
500\cdot 34{,}057 \cdot 0{,}93 \approx 500\cdot 31{,}670 = 15\,835\\ (\text{aprox.}).
Então
A_{(3)} \approx \dfrac{863\,910}{15\,834{,}9} \approx 54{,}6\\ \mathrm{m^2}.
\boxed{A_{(3)}\approx 54{,}6\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{usando }F\approx 0{,}93).}
Comentário sobre sensibilidade (útil na prova): se por exemplo F fosse 0{,}95, A_{(3)} caíria para \approx 53{,}4\\ \mathrm{m^2}; se F=0{,}90, A_{(3)} subiria para \approx 55{,}1\\ \mathrm{m^2}. Ou seja, A_{(3)} é razoavelmente sensível a F, mas permanece entre as áreas dos casos (2) e (1).

Passo 9

Comparação rápida entre os três casos (análise usada para decidir o mais vantajoso):
Resumo numérico aproximado (valores obtidos):
  • Q \approx 863{,}910\\ \mathrm{W}.
  • T_{c,o} \approx 36{,}53^\circ\mathrm{C}.
  • Áreas:
    • (1) duplo tubo co-corrente: A_{(1)}\approx 65{,}5\\ \mathrm{m^2}.
    • (2) duplo tubo contracorrente: A_{(2)}\approx 50{,}7\\ \mathrm{m^2}.
    • (3) shell-and-tube (1 shell, 2 tube passes): A_{(3)}\approx 54{,}6\\ \mathrm{m^2} (com F\approx 0{,}93).
Interpretação:
  • O menor requerimento de área corresponde ao caso (2), contracorrente, portanto é o mais eficiente termicamente.
  • O caso (3) (feixe tubular 1-2) fica entre contracorrente simples e co-corrente em termos de área necessária — isto é típico: multi-passes melhora a eficiência em relação ao co-corrente, mas não tanto quanto o ideal contracorrente simples; além disso, a escolha real depende também de custos, facilidade de manutenção, queda de pressão, compacidade, etc.
  • Numa primeira (rápida) análise térmica, com objetivo de minimizar área (e normalmente custo ligado à área), o trocador mais vantajoso é o (2) — duplo tubo contracorrente.

Resposta

a) Q = 863\,910\\ \mathrm{W}.
b) T_{c,o} \approx 36{,}53^\circ\mathrm{C}.
c) Áreas de troca térmica:
(1) duplo tubo — escoamento concorrente: A_{(1)} \approx 65{,}5\\ \mathrm{m^2}.
(2) duplo tubo — escoamento contracorrente: A_{(2)} \approx 50{,}7\\ \mathrm{m^2}.
(3) feixe tubular (1 passe casco, 2 passes tubos): A_{(3)} \approx 54{,}6\\ \mathrm{m^2} (usando F\approx 0{,}93; ver observação sobre F).
d) Numa primeira análise térmica, o mais vantajoso é o caso (2): duplo tubo contracorrente (menor área requerida).

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