6- O crescimento aeróbio de S. cerevisiae em etanol e descrito pela seguinte equação geral:
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}+\mathrm{aO} \mathrm{O}_{2}+b \mathrm{NH}_{3} \rightarrow c \mathrm{CH}_{1,704} \mathrm{~N}_{0,149} \mathrm{O}_{0,408}+d \mathrm{CO}_{2}+e \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
a) Determine os coeficientes a, b, c, d, e, onde \mathrm{RQ}=0,66;
b) Determine o coeficiente de rendimento em biomassa \left(Y_{X / S}\right) e o coeficiente de rendimento para \mathrm{O}_{2} ( Y_{\text {X/O2 }} ).

Passo 1

O enunciado dá a reação geral (por mol de etanol) e pede os coeficientes a,b,c,d,e sabendo que o quociente respiratório é \mathrm{RQ}=0,66. A equação é:
\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{5}\mathrm{OH} + a\\ \mathrm{O}_{2} + b\\ \mathrm{NH}_{3} \rightarrow c\\ \mathrm{CH}_{1,704}\mathrm{N}_{0,149}\mathrm{O}_{0,408} + d\\ \mathrm{CO}_{2} + e\\ \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Fórmula do substrato: \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{5}\mathrm{OH} (tem 2 átomos de C, 6 de H e 1 de O por mol).
  • Fórmula empírica da biomassa por mol: \mathrm{CH}_{1,704}\mathrm{N}_{0,149}\mathrm{O}_{0,408} (cada mol dessa unidade tem 1 C, 1,704 H, 0,149 N e 0,408 O).
  • Quociente respiratório dado: \mathrm{RQ}=\dfrac{\text{mol de } \mathrm{CO}_2 \text{ produzido}}{\text{mol de } \mathrm{O}_2 \text{ consumido}}=0,66.
  • Pedidos: (a) determinar a,b,c,d,e; (b) determinar Y_{X/S} (rendimento de biomassa por substrato) e Y_{X/\mathrm{O}_2} (rendimento de biomassa por oxigênio).

Passo 2

Montamos as equações de balanço de átomos e a equação do RQ. Vou explicar cada balanço e por que usamos cada termo.
  • Carbono: à esquerda temos 2 átomos de C (do etanol). À direita cada mol de biomassa tem 1 C e cada mol de \mathrm{CO}_2 tem 1 C. Logo:
2 = c + d.
  • Nitrogênio: à esquerda o N vem apenas do \mathrm{NH}_3 (cada mol de \mathrm{NH}_3 tem 1 N), então b é o número de mols de N à esquerda. À direita N aparece só na biomassa:
b = 0,149\,c.
  • Hidrogênio: à esquerda etanol tem 6 H e cada \mathrm{NH}_3 traz 3 H; então H total à esquerda é 6 + 3b. À direita a biomassa tem 1,704\,c H e cada \mathrm{H}_2\mathrm{O} tem 2 H (temos e mols de água):
6 + 3b = 1,704\,c + 2e.
  • Oxigênio: à esquerda o etanol tem 1 O e cada mol de \mathrm{O}_2 traz 2 átomos de O, logo O à esquerda é 1 + 2a. À direita a biomassa traz 0,408\,c O, cada \mathrm{CO}_2 tem 2 O e cada \mathrm{H}_2\mathrm{O} tem 1 O:
1 + 2a = 0,408\,c + 2d + e.
  • RQ (definição): razão molar \mathrm{CO}_2 produzido / \mathrm{O}_2 consumido:
\mathrm{RQ}=\frac{d}{a}=0,66.
Temos, portanto, cinco equações para as cinco incógnitas a,b,c,d,e.

Passo 3

Use o balanço de carbono para expressar d em função de c. Isto simplifica o sistema.
Da equação de carbono:
2 = c + d \quad\Rightarrow\quad d = 2 - c.
Explicação rápida: cada mol de biomassa consome 1 átomo de C, então se c mols de biomassa são formados, sobram 2-c mols de C para virar \mathrm{CO}_2.

Passo 4

Use o balanço de nitrogênio para expressar b em função de c.
Da equação de N:
b = 0,149\,c.
Explicação: cada mol de biomassa contém 0,149 mol de N, então para formar c mols de biomassa precisa-se de 0,149c mols de N, que vêm de b mols de \mathrm{NH}_3.

Passo 5

Use o balanço de hidrogênio para expressar e (água) em função de c. Substitua b obtido no passo anterior.
Partimos de
6 + 3b = 1,704\,c + 2e.
Substituindo b=0,149c:
6 + 3(0,149c) = 1,704c + 2e.
Calcule 3\cdot 0,149 = 0,447, então
6 + 0,447c = 1,704c + 2e.
Isolando e:
2e = 6 + 0,447c - 1,704c = 6 - 1,257c,
logo
e = \frac{6 - 1,257c}{2} = 3 - 0,6285c.
Comentários: aqui fizemos contas algébricas simples; anotei cada termo para você poder refazer na prova.

Passo 6

Use a relação \mathrm{RQ}=\dfrac{d}{a}=0,66 para expressar a em função de d (e portanto de c).
Da RQ:
a = \frac{d}{0,66}.
Substituindo d=2-c (do Passo 3):
a = \frac{2 - c}{0,66}.
Explicação: a é o número de mols de \mathrm{O}_2 consumidos por mol de etanol; como \mathrm{RQ}=d/a, invertemos a relação.

Passo 7

Agora usamos o balanço de oxigênio, substituindo a,d,e todos em função de c — sobra uma equação só em c que resolvemos.
Equação de oxigênio:
1 + 2a = 0,408c + 2d + e.
Substitua a=\dfrac{2-c}{0,66}, d=2-c e e=3-0,6285c:
Lado esquerdo:
1 + 2a = 1 + 2\cdot\frac{2-c}{0,66} = 1 + \frac{4 - 2c}{0,66}.
Lado direito:
0,408c + 2(2-c) + \bigl(3 - 0,6285c\bigr) = 0,408c + 4 - 2c + 3 - 0,6285c.
Juntando termos no lado direito:
0,408c - 2c - 0,6285c + 7 = -2,2205c + 7.
Agora o lado esquerdo numérico: \dfrac{4}{0,66}\approx 6,060606 e \dfrac{2}{0,66}\approx 3,030303, então
1 + \frac{4 - 2c}{0,66} \approx 1 + 6,060606 - 3,030303c = 7,060606 - 3,030303c.
Igualando LHS = RHS:
7,060606 - 3,030303c = 7 - 2,2205c.
Isolando c:
7,060606 - 7 = (3,030303 - 2,2205)c
0,060606 = 0,809803\,c
c = \frac{0,060606}{0,809803} \approx 0,07490.
Explicação: fiz as divisões decimais para manter clareza—na prova você pode manter frações ou arredondar com cuidado. O resultado é
c \approx 0,07490\\ \text{(mol de biomassa por mol de etanol consumido)}.

Passo 8

Com c determinado, calcule os demais coeficientes d,a,b,e usando as relações anteriores. Vou mostrar as contas e arredondar razoavelmente.
  • d = 2 - c:
d = 2 - 0,07490 = 1,92510.
  • a = \dfrac{2 - c}{0,66} = \dfrac{d}{0,66}:
a = \frac{1,92510}{0,66} \approx 2,91652.
  • b = 0,149\,c:
b = 0,149\cdot 0,07490 \approx 0,01116.
  • e = 3 - 0,6285c (ou fórmula anterior):
e = 3 - 0,6285\cdot 0,07490 \approx 2,95295.
Faço um checagem rápida dos balanços (apenas para confirmar): soma de C: c+d\approx 0,07490+1,92510=2 OK; RQ: d/a\approx 1,92510/2,91652\approx 0,66 OK. Pequenos desvios são por arredondamento.

Passo 9

Agora calculamos os coeficientes de rendimento pedidos. Primeiro definimos claramente o que são e em que unidades vamos apresentar.
  • Definição: Y_{X/S} é o rendimento de biomassa produzido por unidade de substrato consumido, normalmente expresso em \mathrm{g\;biomassa}/\mathrm{g\;substrato}.
  • Definição: Y_{X/\mathrm{O}_2} é o rendimento de biomassa produzido por unidade de oxigênio consumido, em \mathrm{g\;biomassa}/\mathrm{g\;O_2}.
Procedimento: calculamos a massa (g) de biomassa produzida por mol de etanol consumido e dividimos pela massa (g) de etanol por mol, para obter Y_{X/S}. Para Y_{X/\mathrm{O}_2} dividimos a massa de biomassa formada por mol etanol pela massa de \mathrm{O}_2 consumida por mol etanol.
Passos e constantes usadas (com explicação):
  • Massa molar do etanol \mathrm{C_2H_5OH}: usei M_{\text{etanol}} = 46,068\\ \mathrm{g/mol} (C=12,01; H=1,008; O=16,00).
  • Massa molar da unidade de biomassa \mathrm{CH}_{1,704}\mathrm{N}_{0,149}\mathrm{O}_{0,408}: calculei somando as massas dos átomos por mol da fórmula: M_{\text{biomassa}} = 12,01\cdot 1 + 1,008\cdot 1,704 + 14,01\cdot 0,149 + 16,00\cdot 0,408.Fazendo as contas: M_{\text{biomassa}} \approx 12,01 + 1,717632 + 2,08749 + 6,528 = 22,3431\\ \mathrm{g/mol\\ (da\\ unidade\\ empírica)}.í
  • Biomassa formada por mol de etanol: c mols de unidade biológica \Rightarrow massa = c\cdot M_{\text{biomassa}}.
Cálculos numéricos:
  • Massa de biomassa gerada por mol etanol:
m_X = c\cdot M_{\text{biomassa}} \approx 0,07490\cdot 22,3431 \approx 1,67339\\ \mathrm{g\;biomassa/mol\\ etanol}.
  • Massa de etanol por mol: M_{\text{etanol}} = 46,068\\ \mathrm{g/mol}.
  • Portanto
Y_{X/S} = \frac{m_X}{M_{\text{etanol}}} \approx \frac{1,67339}{46,068} \approx 0,03633\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;etanol}.
  • Massa de \mathrm{O}_2 consumida por mol etanol: a mols de \mathrm{O}_2 \Rightarrow massa = a\cdot 32,00\\ \mathrm{g/mol}.
m_{\mathrm{O}_2} = a\cdot 32,00 \approx 2,91652\cdot 32,00 \approx 93,3286\\ \mathrm{g\;\mathrm{O}_2/mol\\ etanol}.
  • Logo
Y_{X/\mathrm{O}_2} = \frac{m_X}{m_{\mathrm{O}_2}} \approx \frac{1,67339}{93,3286} \approx 0,01793\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;O_2}.
Resumo numérico (arredondado de forma consistente) será dado na seção de resposta final.

Resposta

a = 2,9165,\quad b = 0,01116,\quad c = 0,07490,\quad d = 1,9251,\quad e = 2,9529.
Y_{X/S} \approx 0,03633\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;etanol}.
Y_{X/\mathrm{O}_2} \approx 0,01793\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;O_2}.

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