4- O crescimento de levedura de panificação (S. cerevisiae) em glicose pode ser descrita pela seguinte equação:
\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}+3 \mathrm{O}_{2}+0,48\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4} \rightarrow 0,48 \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{NO}_{3}+4,32 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+3,12 \mathrm{CO}_{2}
Em um reator batelada de volume 10^{5} \mathrm{~L}, a concentração final desejada de levedura é 50 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Utilizando a reação estequiométrica acima:
a) Determine a concentração e o montante total de glicose e ( \left.\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4} no meio de fermentação;
b) Determine o coeficiente de rendimento Y_{X / S} (biomassa/glicose) e Y_{X / O 2} (biomassa/oxigênio);

Passo 1

O enunciado dá a reação estequiométrica
\mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6}+3\mathrm{O}_{2}+0,48(\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4}\rightarrow 0,48\mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{10}\mathrm{NO}_{3}+4,32\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}+3,12\mathrm{CO}_{2}
e pede duas coisas:
a) Para um reator batelada com volume \;10^{5}\\ \mathrm{L} e concentração final desejada de levedura \;50\\ \mathrm{g/L}, determinar:
  • a concentração no meio e o montante total de glicose;
  • a concentração no meio e o montante total de (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4}.
b) Determinar os coeficientes de rendimento:
  • Y_{X/S} (biomassa por glicose, em \mathrm{g\\ biomass}/\mathrm{g\\ glucose});
  • Y_{X/O_2} (biomassa por oxigênio, em \mathrm{g\\ biomass}/\mathrm{g\\ O_2}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume do reator: \;V=10^{5}\\ \mathrm{L}.
  • Concentração final de biomassa: \;C_X=50\\ \mathrm{g/L}.
  • Fórmula empírica da biomassa dada na reação: \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{10}\mathrm{N}\mathrm{O}_{3} (coeficiente estequiométrico 0{,}48 por mol de glicose).
  • Coeficientes estequiométricos relevantes: por 1 mol de glicose geram 0{,}48 mol de biomassa e consomem 0{,}48 mol de (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4} e 3 mol de \mathrm{O}_{2}.

Passo 2

Vamos calcular as massas molares ( explicar: massa molar é a soma das massas atômicas dos átomos da fórmula; unidade \mathrm{g/mol} ). Usarei massas atômicas aproximadas: \;M_C=12{,}01, \;M_H=1{,}008, \;M_N=14{,}01, \;M_O=16{,}00, \;M_S=32{,}06.
  • Massa molar da glicose \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6}:
M_{S} = 6M_C + 12M_H + 6M_O = 6\cdot12{,}01 + 12\cdot1{,}008 + 6\cdot16{,}00 = 180{,}16\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar da biomassa (fórmula \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{10}\mathrm{N}\mathrm{O}_{3}):
M_X = 6M_C + 10M_H + 1M_N + 3M_O = 6\cdot12{,}01 + 10\cdot1{,}008 + 14{,}01 + 3\cdot16{,}00 = 144{,}15\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar de (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4} (fórmula \mathrm{N}_{2}\mathrm{H}_8\mathrm{S}\mathrm{O}_4):
M_{AS} = 2M_N + 8M_H + M_S + 4M_O = 2\cdot14{,}01 + 8\cdot1{,}008 + 32{,}06 + 4\cdot16{,}00 = 132{,}14\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar do oxigênio molecular \mathrm{O}_2:
M_{O_2} = 2\cdot16{,}00 = 32{,}00\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 3

Calcular a massa total de biomassa desejada no reator:
\text{massa de biomassa} = C_X \cdot V = 50\\ \mathrm{g/L}\times 10^{5}\\ \mathrm{L} = 5{,}000{,}000\\ \mathrm{g}.
Ou seja, queremos produzir \;5{,}000{,}000\\ \mathrm{g} de biomassa.

Passo 4

Converter essa massa de biomassa em mols (para usar a estequiometria):
n_X = \frac{\text{massa de biomassa}}{M_X} = \frac{5{,}000{,}000\\ \mathrm{g}}{144{,}15\\ \mathrm{g/mol}} \approx 34{,}686{,}31\\ \mathrm{mol}.
(Interpretando: precisamos produzir aproximadamente \;3{,}4686\times10^{4} mol de biomassa.)

Passo 5

Usar a estequiometria para obter os mols de glicose necessários.
Da reação, por 1 mol de glicose forma-se 0{,}48 mol de biomassa. Assim:
n_S = \frac{n_X}{0{,}48} = \frac{34{,}686{,}31}{0{,}48} \approx 72{,}262{,}73\\ \mathrm{mol\\ de\\ glicose}.
Agora convertemos para massa de glicose:
\text{massa de glicose} = n_S \cdot M_{S} = 72{,}262{,}73\\ \mathrm{mol}\times 180{,}16\\ \mathrm{g/mol} \approx 13{,}018{,}853{,}44\\ \mathrm{g}.
Concentração de glicose no meio (massa/volume):
C_S = \frac{13{,}018{,}853{,}44\\ \mathrm{g}}{10^{5}\\ \mathrm{L}} \approx 130{,}19\\ \mathrm{g/L}.

Passo 6

Usar a estequiometria para o (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4}.
Da reação, por 1 mol de glicose consome-se 0{,}48 mol de (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4}. Assim:
n_{AS} = 0{,}48\cdot n_S = 0{,}48\cdot 72{,}262{,}73 \approx 34{,}686{,}31\\ \mathrm{mol}.
Observação: numericamente n_{AS} coincide com n_X porque os coeficientes estequiométricos de biomassa e do sal de amônio são ambos 0{,}48 na reação.
Massa de (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4}:
\text{massa}_{AS} = n_{AS}\cdot M_{AS} = 34{,}686{,}31\\ \mathrm{mol}\times 132{,}14\\ \mathrm{g/mol} \approx 4{,}583{,}449{,}00\\ \mathrm{g}.
Concentração no meio:
C_{AS} = \frac{4{,}583{,}449{,}00\\ \mathrm{g}}{10^{5}\\ \mathrm{L}} \approx 45{,}83\\ \mathrm{g/L}.

Passo 7

Agora calculamos os coeficientes de rendimento solicitados. Primeiro, entender o que é rendimento: Y_{X/S} é a massa de biomassa formada por massa de substrato (g/g). Podemos tirar direto da estequiometria por mol de glicose consumido.
Massa de biomassa formada por mol de glicose:
m_X^{(por\\ mol\\ S)} = 0{,}48\\ \mathrm{mol\\ de\\ biomassa} \times M_X = 0{,}48\cdot 144{,}15 = 69{,}192\\ \mathrm{g\\ biomass\\ por\\ mol\\ de\\ glucose}.
Massa de glicose por mol de glicose é M_S=180{,}16\\ \mathrm{g}. Assim:
Y_{X/S} = \frac{m_X^{(por\\ mol\\ S)}}{M_S} = \frac{69{,}192}{180{,}16} \approx 0{,}38423\\ \mathrm{g\\ biomass}/\mathrm{g\\ glucose}.
Para Y_{X/O_2}: por mol de glicose consome-se 3 mol de \mathrm{O}_2, ou seja massa de \mathrm{O}_2 consumida por mol de glicose:
m_{O_2}^{(por\\ mol\\ S)} = 3\cdot M_{O_2} = 3\cdot 32{,}00 = 96{,}00\\ \mathrm{g\\ O_2\\ por\\ mol\\ de\\ glucose}.
Então
Y_{X/O_2} = \frac{m_X^{(por\\ mol\\ S)}}{m_{O_2}^{(por\\ mol\\ S)}} = \frac{69{,}192}{96{,}00} \approx 0{,}72075\\ \mathrm{g\\ biomass}/\mathrm{g\\ O_2}.
Explicando em palavras: para cada grama de glicose que a levedura consome, ela converte cerca de 0{,}384\\ \mathrm{g} em biomassa; para cada grama de oxigênio consumido ela produz cerca de 0{,}721\\ \mathrm{g} de biomassa (segundo a estequiometria dada).

Passo 8

Resumo numérico arredondado (apenas para facilitar leitura; cálculos acima são mostrados passo a passo):
  • Massa total de biomassa desejada: \;5{,}000{,}000\\ \mathrm{g}.
  • Glicose necessária: \approx 13{,}018{,}853{,}44\\ \mathrm{g} ( \approx 13{,}018{,}85\\ \mathrm{kg}), concentração \approx 130{,}19\\ \mathrm{g/L}.
  • (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4} necessário: \approx 4{,}583{,}449{,}00\\ \mathrm{g} ( \approx 4{,}583{,}45\\ \mathrm{kg}), concentração \approx 45{,}83\\ \mathrm{g/L}.
  • Rendimentos: Y_{X/S}\approx 0{,}38423\\ \mathrm{g/g} e Y_{X/O_2}\approx 0{,}72075\\ \mathrm{g/g}.
Boa! Você agora tem todos os passos para reproduzir as contas rapidamente na prova — memória curta e concentração alta ajudam bastante. Vai dar certo!

Resposta

a) Glicose: concentração \;130{,}19\\ \mathrm{g/L}, montante total \;13{,}018{,}853{,}44\\ \mathrm{g}. (\mathrm{NH}_{4})_{2}\mathrm{SO}_{4}: concentração \;45{,}83\\ \mathrm{g/L}, montante total \;4{,}583{,}449{,}00\\ \mathrm{g}.\n
b) Y_{X/S}=0{,}38423\\ \mathrm{g\\ biomass}/\mathrm{g\\ glucose}, \;Y_{X/O_2}=0{,}72075\\ \mathrm{g\\ biomass}/\mathrm{g\\ O_2}.

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