(Crescimento de uma colônia de bactérias) Uma colônia de bactérias possui inicialmente 500 indivíduos. Após 3 horas, o número de bactérias é 3000 . Admita que a taxa de crescimento da população seja proporcional ao número de indivíduos presentes. Determine:
(a) a constante de crescimento k;
(b) o tempo necessário para que a colônia alcance 10000 bactérias.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Número inicial de bactérias: N(0)=500.
    • Número de bactérias após 3 horas: N(3)=3000.
    • A taxa de crescimento é proporcional ao número de indivíduos presentes.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a constante de crescimento k.
    • (b) Determinar o tempo necessário para que a colônia alcance 10000 bactérias.

Passo 2

Modelagem matemática e significado das variáveis (passo-a-passo e didático).
  • Vamos chamar por N(t) o número de bactérias no instante t, medido em horas.
  • “Taxa de crescimento proporcional ao número de indivíduos” significa que a rapidez com que N cresce é proporcional a N naquele instante. Escrevemos isso como uma equação diferencial:
\frac{dN}{dt} = k\,N,
onde k é a constante de proporcionalidade (constante de crescimento). Aqui:
  • \frac{dN}{dt} é a derivada de N em relação ao tempo, ou seja, a taxa instantânea de variação do número de bactérias (indivíduos por hora).
  • k tem unidade de \text{hora}^{-1} e indica quão rápido a população cresce. Se k>0, há crescimento exponencial; se k<0, haveria decaimento.

Passo 3

Resolução da equação diferencial (explicando cada passo).
  • A equação \dfrac{dN}{dt}=kN é separável. Separamos variáveis:
\frac{dN}{N}=k\,dt.
  • Integramos ambos os lados:
\int \frac{dN}{N}=\int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln N = k t + C,
onde C é a constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados obtemos a forma exponencial:
N(t)=C'\,e^{k t},
onde C'=e^{C} é outra constante positiva. Interpretamos C' como o valor inicial N(0):
N(0)=C' e^{k\cdot 0}=C' \quad\Rightarrow\quad C'=N(0).
  • Portanto a solução geral com a condição inicial é
N(t)=N(0)\,e^{k t}.

Passo 4

Aplicar as condições fornecidas para encontrar k (parte a).
  • Usando N(0)=500, a solução fica
N(t)=500\,e^{k t}.
  • Substituindo o dado N(3)=3000:
3000 = 500\,e^{3k}.
  • Dividindo ambos os lados por 500:
6 = e^{3k}.
  • Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln 6 = 3k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{3}\ln 6.
  • Uma forma numérica útil: \ln 6=\ln(2\cdot 3)=\ln 2+\ln 3\approx 0,693147+1,098612=1,791759. Assim
k \approx \frac{1,791759}{3}\approx 0,597253.
  • Conclusão (valores exato e aproximado):
k = \frac{1}{3}\ln 6 \approx 0,5973\\ \text{h}^{-1}.

Passo 5

Determinar o tempo para N(t)=10000 (parte b), explicando uso de logaritmos.
  • Usamos a fórmula N(t)=500\,e^{k t} e impomos N(t)=10000:
10000 = 500\,e^{k t}.
  • Dividindo por 500:
20 = e^{k t}.
  • Tomando logaritmo natural:
\ln 20 = k t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln 20}{k}.
  • Podemos substituir o valor exato de k obtido no Passo 4: k=\dfrac{1}{3}\ln 6. Assim
t = \frac{\ln 20}{\tfrac{1}{3}\ln 6} = \frac{3\ln 20}{\ln 6}.
  • Avaliação numérica: \ln 20\approx 2,995732 e já temos \ln 6\approx 1,791759. Então
t \approx \frac{3\cdot 2,995732}{1,791759}\approx 5,013.
  • Interpretação: leva aproximadamente 5,01 horas desde o instante inicial t=0 para que a colônia atinja 10000 bactérias. Se quiser saber quanto tempo a partir de t=3 horas (ou seja, “mais X horas depois do momento em que havia 3000”), subtrai-se 3: \approx 2,01 horas adicionais.

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{3}\ln 6\approx 0,5973\\ \text{h}^{-1}
(b) t=\dfrac{3\ln 20}{\ln 6}\approx 5,01\\ \text{horas}

Exercícios relacionados