(Crescimento de uma colônia de bactérias) Uma colônia de bactérias possui inicialmente 500 indivíduos. Após 3 horas, o número de bactérias é 3000 . Admita que a taxa de crescimento da população seja proporcional ao número de indivíduos presentes. Determine:
(a) a constante de crescimento
;
(b) o tempo necessário para que a colônia alcance 10000 bactérias.
(a) a constante de crescimento
(b) o tempo necessário para que a colônia alcance 10000 bactérias.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dados fornecidos:
- Número inicial de bactérias:
. - Número de bactérias após
horas: . - A taxa de crescimento é proporcional ao número de indivíduos presentes.
- Número inicial de bactérias:
- Perguntas:
- (a) Determinar a constante de crescimento
. - (b) Determinar o tempo necessário para que a colônia alcance
bactérias.
- (a) Determinar a constante de crescimento
Passo 2
Modelagem matemática e significado das variáveis (passo-a-passo e didático).
- Vamos chamar por
o número de bactérias no instante , medido em horas. - “Taxa de crescimento proporcional ao número de indivíduos” significa que a rapidez com que
cresce é proporcional a naquele instante. Escrevemos isso como uma equação diferencial:
onde
é a constante de proporcionalidade (constante de crescimento). Aqui:
-
é a derivada de em relação ao tempo, ou seja, a taxa instantânea de variação do número de bactérias (indivíduos por hora). -
tem unidade de e indica quão rápido a população cresce. Se , há crescimento exponencial; se , haveria decaimento.
Passo 3
Resolução da equação diferencial (explicando cada passo).
- A equação
é separável. Separamos variáveis:
- Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados obtemos a forma exponencial:
onde
é outra constante positiva. Interpretamos
como o valor inicial
:
- Portanto a solução geral com a condição inicial é
Passo 4
Aplicar as condições fornecidas para encontrar
(parte a).
- Usando
, a solução fica
- Substituindo o dado
:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
- Uma forma numérica útil:
. Assim
- Conclusão (valores exato e aproximado):
Passo 5
Determinar o tempo para
(parte b), explicando uso de logaritmos.
- Usamos a fórmula
e impomos :
- Dividindo por
:
- Tomando logaritmo natural:
- Podemos substituir o valor exato de
obtido no Passo 4: . Assim
- Avaliação numérica:
e já temos . Então
- Interpretação: leva aproximadamente
horas desde o instante inicial para que a colônia atinja bactérias. Se quiser saber quanto tempo a partir de horas (ou seja, “mais X horas depois do momento em que havia 3000”), subtrai-se : horas adicionais.
Resposta
(a)
(b)