(Evaporação de um líquido) Um recipiente contém inicialmente 2 L de água. Após 4 horas, restam
. Admita que a taxa de evaporação é proporcional à quantidade de líquido ainda presente. Determine:
(a) o valor da constante de proporcionalidade
;
(b) o volume de água restante após 10 horas.
(a) o valor da constante de proporcionalidade
(b) o volume de água restante após 10 horas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação 1: volume inicial de água
. - Informação 2: após
horas o volume é . - Informação 3 (modelo pedido): a taxa de evaporação é proporcional à quantidade de líquido ainda presente.
As perguntas do enunciado são:
(a) determinar a constante de proporcionalidade ;
(b) determinar o volume de água restante após horas, isto é
.
(a) determinar a constante de proporcionalidade
(b) determinar o volume de água restante após
Passo 2
Transformando a palavra “proporcional” em equação: dizer que a taxa de variação do volume é proporcional ao volume significa que existe uma constante positiva
tal que a derivada do volume em relação ao tempo satisfaz
Explicação didática: aqui
é a velocidade com que o volume muda no instante
(em L/h),
é o volume naquele instante (em L) e
é a constante de proporcionalidade (em h^{-1}). O sinal negativo aparece porque o volume diminui (evapora).
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Começo escrevendo
Separe as variáveis movendo
para o lado esquerdo e
para o direito:
Agora integro ambos os lados. A integral de
é
e a integral de
é
mais constante. Assim:
onde
é a constante de integração. Como
sempre (volume positivo), posso escrever sem o módulo:
Exponentiando ambos os lados obtemos a forma explícita da solução:
Defino
. Então a solução geral é
Interpretação:
é o volume no instante
.
Passo 4
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
dá
Logo a solução particular do problema é
Passo 5
Usar o dado
para encontrar
. Substituindo
em
obtemos
Isolando o exponencial:
Aplico logaritmo natural em ambos os lados:
Podemos escrever de forma equivalente usando
e
, então
Cálculo numérico (arredondando):
, portanto
Interpretação prática:
é a fração do volume que evapora por hora (num modelo exponencial); aqui cerca de
por hora.
Passo 6
Agora calcular
. Partindo de
e usando o valor de
em forma exata,
Simplificando o expoente:
Fazer uma simplificação algébrica útil:
, então
Cálculo numérico (arredondando):
, então
Interpretação prática: após 10 horas resta aproximadamente
L de água.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)