(Evaporação de um líquido) Um recipiente contém inicialmente 2 L de água. Após 4 horas, restam 1,5 \mathrm{~L}. Admita que a taxa de evaporação é proporcional à quantidade de líquido ainda presente. Determine:
(a) o valor da constante de proporcionalidade k;
(b) o volume de água restante após 10 horas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação 1: volume inicial de água V(0)=2\\ \text{L}.
  • Informação 2: após 4 horas o volume é V(4)=1{,}5\\ \text{L}.
  • Informação 3 (modelo pedido): a taxa de evaporação é proporcional à quantidade de líquido ainda presente.
As perguntas do enunciado são:
(a) determinar a constante de proporcionalidade k;
(b) determinar o volume de água restante após 10 horas, isto é V(10).

Passo 2

Transformando a palavra “proporcional” em equação: dizer que a taxa de variação do volume é proporcional ao volume significa que existe uma constante positiva k tal que a derivada do volume em relação ao tempo satisfaz
\frac{dV}{dt} = -k\,V(t).
Explicação didática: aqui \dfrac{dV}{dt} é a velocidade com que o volume muda no instante t (em L/h), V(t) é o volume naquele instante (em L) e k é a constante de proporcionalidade (em h^{-1}). O sinal negativo aparece porque o volume diminui (evapora).

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Começo escrevendo
\frac{dV}{dt} = -kV.
Separe as variáveis movendo V para o lado esquerdo e dt para o direito:
\frac{dV}{V} = -k\,dt.
Agora integro ambos os lados. A integral de \dfrac{1}{V}\,dV é \ln|V| e a integral de -k\,dt é -kt mais constante. Assim:
\int \frac{dV}{V} = \int -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|V| = -kt + C,
onde C é a constante de integração. Como V(t)>0 sempre (volume positivo), posso escrever sem o módulo:
\ln V = -kt + C.
Exponentiando ambos os lados obtemos a forma explícita da solução:
V(t) = e^{C} e^{-kt}.
Defino V_0 := e^{C}. Então a solução geral é
V(t) = V_0 e^{-kt}.
Interpretação: V_0 é o volume no instante t=0.

Passo 4

Usar a condição inicial V(0)=2 para determinar V_0. Substituindo t=0 em V(t)=V_0 e^{-kt}
V(0)=V_0 e^{0}=V_0=2.
Logo a solução particular do problema é
V(t)=2 e^{-kt}.

Passo 5

Usar o dado V(4)=1{,}5 para encontrar k. Substituindo t=4 em V(t)=2 e^{-kt} obtemos
1{,}5 = 2 e^{-4k}.
Isolando o exponencial:
e^{-4k} = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75.
Aplico logaritmo natural em ambos os lados:
-4k = \ln(0{,}75) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{4}\ln(0{,}75).
Podemos escrever de forma equivalente usando \ln(0{,}75)=\ln\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) e -\ln\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)=\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr), então
k = \frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Cálculo numérico (arredondando): \ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0{,}287682072, portanto
k \approx 0{,}0719205\\ \text{h}^{-1}.
Interpretação prática: k é a fração do volume que evapora por hora (num modelo exponencial); aqui cerca de 7{,}19\% por hora.

Passo 6

Agora calcular V(10). Partindo de V(t)=2 e^{-kt} e usando o valor de k em forma exata,
V(10)=2 e^{-10k}=2 e^{-10\cdot\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)}=2 e^{-\tfrac{10}{4}\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)}.
Simplificando o expoente:
V(10)=2\left(e^{\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)}\right)^{-\tfrac{10}{4}}=2\left(\frac{4}{3}\right)^{-\tfrac{5}{2}}=2\left(\frac{3}{4}\right)^{\tfrac{5}{2}}.
Fazer uma simplificação algébrica útil: \left(\tfrac{3}{4}\right)^{\tfrac{5}{2}}=\dfrac{9\sqrt{3}}{32}, então
V(10)=2\cdot \frac{9\sqrt{3}}{32}=\frac{9\sqrt{3}}{16}\\ \text{L}.
Cálculo numérico (arredondando): \sqrt{3}\approx 1{,}7320508, então
V(10)\approx \frac{9\cdot 1{,}7320508}{16}\approx 0{,}9742786\\ \text{L}.
Interpretação prática: após 10 horas resta aproximadamente 0{,}974 L de água.

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{4}\ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx 0{,}07192\\ \text{h}^{-1}\n
(b) V(10)=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2{,}5}=\dfrac{9\sqrt{3}}{16}\\ \text{L}\approx 0{,}9743\\ \text{L}

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