Resolva os Problemas de Valores Iniciais (PVI).
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+(1-2 x) y=x e^{-x} \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o Problema de Valor Inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+(1-2x)\,y = x e^{-x},\\[4pt] y(0)=2. \end{array}\right.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial y(0)=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente de y na equação é 1-2x.
  • O termo independente (lado direito) é x e^{-x}.
  • A condição inicial é y(0)=2.]

Passo 2

Estratégia (explicada com calma): a equação está na forma linear de primeira ordem
y'(x) + P(x)\,y(x) = Q(x),
onde aqui P(x)=1-2x e Q(x)=x e^{-x}. A técnica padrão para resolver esse tipo de equação é o fator integrante (integrating factor).
O que é o fator integrante e por que funciona:
  • Define-se o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu P y = \mu Q.
Pelo produto derivado, como \mu'(x)=P(x)\mu(x), o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x):
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y = \mu y' + \mu P y.
Assim a equação transforma-se em
(\mu y)' = \mu Q,
que é fácil de integrar. Essa é a ideia central; agora aplicamos ao caso concreto.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
Primeiro calcule a primitiva de P(x)=1-2x:
\int P(x)\,dx = \int (1-2x)\,dx = x - x^{2} + C,
podemos desprezar a constante de integração ao formar \mu porque ela se torna um fator multiplicativo constante que cancela depois. Assim tomamos
\mu(x)=e^{x-x^{2}}.
Verificação rápida (opcional, só para entender): \mu'(x) = (1-2x)e^{x-x^{2}} = P(x)\mu(x), como esperado.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x). A equação original é y'+(1-2x)y = x e^{-x}. Multiplicando por \mu=e^{x-x^{2}}
e^{x-x^{2}}y' + (1-2x)e^{x-x^{2}}y = x e^{-x} e^{x-x^{2}}.
Pelo comentário do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{x-x^{2}}y\bigr)' = x e^{-x} e^{x-x^{2}}.
Simplificar o lado direito: juntar exponenciais
x e^{-x} e^{x-x^{2}} = x e^{-x^{2}},
porque -x + (x - x^{2}) = -x^{2}. Logo
\bigl(e^{x-x^{2}}y\bigr)' = x e^{-x^{2}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{x-x^{2}}y = \int x e^{-x^{2}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Agora calcular a integral \int x e^{-x^{2}}\,dx. Use a substituição padrão:
  • Seja u=-x^{2}. Então du = -2x\,dx, portanto x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
  • Assim
\int x e^{-x^{2}}\,dx = \int e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2} e^{u} + \text{const} = -\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}} + \text{const}.
Portanto podemos escrever
e^{x-x^{2}}y = -\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}} + C.

Passo 6

Isolar y dividindo por e^{x-x^{2}}:
y(x) = \frac{-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}} + C}{e^{x-x^{2}}}.
Simplificar cada termo usando propriedades de exponenciais:
  • Primeiro termo:
\frac{-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}}{e^{x-x^{2}}} = -\tfrac{1}{2} e^{-x^{2} - (x - x^{2})} = -\tfrac{1}{2} e^{-x}.
  • Segundo termo:
\frac{C}{e^{x-x^{2}}} = C e^{-x + x^{2}}.
Logo a solução geral é
y(x) = -\tfrac{1}{2} e^{-x} + C e^{-x + x^{2}}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=2 para determinar C.
Calcular y(0) usando a expressão geral:
y(0) = -\tfrac{1}{2} e^{0} + C e^{0} = -\tfrac{1}{2} + C.
Igualando à condição inicial:
-\tfrac{1}{2} + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.

Passo 8

Substituir C=\tfrac{5}{2} na solução geral para obter a solução particular do PVI:
y(x) = -\tfrac{1}{2} e^{-x} + \tfrac{5}{2} e^{-x + x^{2}}.
Se quiser, factorizar e^{-x}:
y(x) = e^{-x}\left(-\tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{2} e^{x^{2}}\right),
mas a forma somada é perfeitamente aceitável.
Parabéns — essa é a solução do PVI. Dá para checar derivando e confirmando que satisfaz a equação e a condição inicial.

Resposta

y(x) = -\dfrac{1}{2} e^{-x} + \dfrac{5}{2} e^{-x + x^{2}}

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