Resolva os Problemas de Valores Iniciais (PVI).
Passo 1
O enunciado fornece o Problema de Valor Inicial (PVI):
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente de
na equação é . - O termo independente (lado direito) é
. - A condição inicial é
.]
Passo 2
Estratégia (explicada com calma): a equação está na forma linear de primeira ordem
onde aqui
e
. A técnica padrão para resolver esse tipo de equação é o fator integrante (integrating factor).
O que é o fator integrante e por que funciona:
- Define-se o fator integrante
por
- Multiplicando a equação por
obtemos
Pelo produto derivado, como
, o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto
:
Assim a equação transforma-se em
que é fácil de integrar. Essa é a ideia central; agora aplicamos ao caso concreto.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Primeiro calcule a primitiva de
:
podemos desprezar a constante de integração ao formar
porque ela se torna um fator multiplicativo constante que cancela depois. Assim tomamos
Verificação rápida (opcional, só para entender):
, como esperado.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. A equação original é
. Multiplicando por
dá
Pelo comentário do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Simplificar o lado direito: juntar exponenciais
porque
. Logo
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Agora calcular a integral
. Use a substituição padrão:
- Seja
. Então , portanto . - Assim
Portanto podemos escrever
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Simplificar cada termo usando propriedades de exponenciais:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Logo a solução geral é
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Calcular
usando a expressão geral:
Igualando à condição inicial:
Passo 8
Substituir
na solução geral para obter a solução particular do PVI:
Se quiser, factorizar
:
mas a forma somada é perfeitamente aceitável.
Parabéns — essa é a solução do PVI. Dá para checar derivando e confirmando que satisfaz a equação e a condição inicial.