Resolva os Problemas de Valores Iniciais (PVI).
\left\{\begin{array}{l}t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=e^{-t} \\\ y(-1)=0, \quad t<0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo para t<0:
\left\{\begin{array}{l} t^{3}y'+4t^{2}y=e^{-t},\\[4pt] y(-1)=0. \end{array}\right.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação diferencial é uma equação de primeira ordem para a função desconhecida y=y(t).
  • y' denota a derivada de y em relação a t.
  • O domínio considerado é t<0 (portanto t\neq 0).
  • A condição inicial é y(-1)=0.
  • Objetivo: encontrar explicitamente a função y(t) definida para t<0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Divido toda a equação por t^{3} (válido porque t\neq 0 no domínio t<0). Obtém-se
y'+\frac{4}{t}\,y=\frac{e^{-t}}{t^{3}}.
Aqui a equação está na forma padrão y'+p(t)y=q(t) com p(t)=\dfrac{4}{t} e q(t)=\dfrac{e^{-t}}{t^{3}}.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t):
Para uma equação linear y'+p(t)y=q(t) o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
No nosso caso,
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{4}{t}\,dt\right)=\exp\!\left(4\ln|t|\right)=|t|^{4}.
Como estamos no domínio t<0, tem-se |t|=-t mas |t|^{4}=t^{4} (pois t^{4} é positivo). Logo podemos usar \mu(t)=t^{4}.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer uma derivada produto:
Multiplicando por t^{4},
t^{4}y'+4t^{3}y=t^{4}\cdot\frac{e^{-t}}{t^{3}}=t e^{-t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto (t^{4}y), porque
\frac{d}{dt}\big(t^{4}y\big)=t^{4}y'+4t^{3}y.
Portanto obtemos a equação simples
\frac{d}{dt}\big(t^{4}y\big)=t e^{-t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
t^{4}y=\int t e^{-t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a primitiva \int t e^{-t}\,dt. Usamos integração por partes: escolher u=t e dv=e^{-t}dt. Então du=dt e v=-e^{-t}. Logo
\int t e^{-t}\,dt = u v - \int v\,du = t(-e^{-t}) - \int (-e^{-t})\,dt = -t e^{-t} + \int e^{-t}\,dt.
E \int e^{-t}\,dt=-e^{-t}, portanto
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C = -(t+1)e^{-t} + C.
Substituindo na expressão para t^{4}y:
t^{4}y=-(t+1)e^{-t}+C.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar C:
Usar t=-1 e y(-1)=0. Calculando o lado direito em t=-1:
t^{4}y\big|_{t=-1}=(-1)^{4}\cdot y(-1)=1\cdot 0=0.
No outro lado,
-(t+1)e^{-t}\big|_{t=-1}= -(-1+1)e^{-(-1)}=-(0)\cdot e^{1}=0.
Logo 0=0+C, portanto C=0.

Passo 7

Escrever a solução final e comentar domínio:
Com C=0 obtemos
t^{4}y=-(t+1)e^{-t},
logo
y(t)=-\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\qquad t<0.
Essa função satisfaz a equação diferencial para t<0 e a condição inicial y(-1)=0. Observação: t=0 é singular, por isso a solução é válida apenas para t<0.

Resposta

y(t)=-\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\qquad t<0.

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