(Desintegração radioativa) Um material radioativo tem massa inicial m_{0}= 200 mg . Após 5 dias, sua massa é reduzida para 150 mg . Sabendo que a taxa de decaimento da substância é proporcional à massa presente, determine:
(a) a constante de decaimento k;
(b) o tempo necessário para que a massa se reduza à metade da original.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas (peguei todos os números do enunciado):
  • Massa inicial: m_{0}=200 mg.
  • Após 5 dias, a massa é 150 mg.
  • Perguntas:
    (a) determinar a constante de decaimento k;
    (b) determinar o tempo necessário para a massa reduzir à metade da original (meio-vida).

Passo 2

Modelagem matemática e explicação do que significa “taxa de decaimento proporcional à massa presente”.
Quando a taxa de variação da massa é proporcional à massa que ainda existe, escrevemos isso como uma equação diferencial:
\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = -k\,m(t).
Aqui:
  • m(t) é a massa no instante t (em mg).
  • t é o tempo (em dias).
  • k é a constante de decaimento (positiva), com unidade \text{dia}^{-1}.
  • O sinal negativo indica que a massa diminui com o tempo.
Essa equação diz, em palavras, que a velocidade de perda de massa é proporcional à massa atual — quanto mais massa, mais rápido o decaimento em valor absoluto.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (a ideia usada comumente em provas).
Partimos de
\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = -k\,m.
Separamos variáveis dividindo por m e multiplicando por \mathrm{d}t:
\frac{1}{m}\,\mathrm{d}m = -k\,\mathrm{d}t.
Integramos os dois lados. Vou integrar do instante inicial 0 (onde m=m_{0}) até um tempo genérico t (onde m=m(t)):
\int_{m_{0}}^{m(t)} \frac{1}{m}\,\mathrm{d}m = \int_{0}^{t} -k\,\mathrm{d}t.
A integral do lado esquerdo é \ln\big(m(t)\big)-\ln(m_{0}). A do lado direito é -k t. Assim:
\ln\big(m(t)\big)-\ln(m_{0}) = -k t.
Usando a propriedade de logaritmos \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right), obtemos
\ln\!\left(\frac{m(t)}{m_{0}}\right) = -k t.
Aplicando a exponencial aos dois lados chegamos à forma explícita da solução:
m(t)=m_{0} e^{-k t}.
Esta é a fórmula padrão de decaimento exponencial: m(t) diminui exponencialmente com constante k.

Passo 4

Usar os dados para determinar k.
Pelo enunciado, em t=5 dias temos m(5)=150 mg. Substituindo na fórmula:
150 = 200\,e^{-k\cdot 5}.
Dividindo ambos os lados por 200:
\frac{150}{200} = e^{-5k}.
Simplificando a fração:
\frac{150}{200}=\frac{3}{4}=0{,}75,
logo
e^{-5k}=\frac{3}{4}.
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
-5k = \ln\!\left(\frac{3}{4}\right).
Isolando k:
k = -\frac{1}{5}\ln\!\left(\frac{3}{4}\right).
Usando a identidade -\ln\!\left(\frac{3}{4}\right)=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right), fica também
k = \frac{1}{5}\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).

Passo 5

Calcular numericamente k e dar a unidade.
Calcule \ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right). Sabendo que \ln(4/3)\approx 0{,}287682072, então
k \approx \frac{0{,}287682072}{5}=0{,}0575364144\\ \text{dia}^{-1}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais no 2º dígito significativo) obtemos
k \approx 0{,}05754\\ \text{dia}^{-1}.

Passo 6

Determinar a meia-vida t_{1/2} (tempo para a massa ficar igual a metade da original).
Definição: a meia-vida t_{1/2} é o tempo em que m(t_{1/2})=m_{0}/2. Usando a fórmula m(t)=m_{0}e^{-k t}, colocamos
\frac{m_{0}}{2}=m_{0}e^{-k t_{1/2}}.
Dividindo por m_{0}:
\frac{1}{2}=e^{-k t_{1/2}}.
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, temos
k t_{1/2} = \ln 2,
portanto
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.

Passo 7

Calcular numericamente t_{1/2}.
Sabendo \ln 2 \approx 0{,}6931471806 e usando k\approx 0{,}0575364144, obtemos
t_{1/2} \approx \frac{0{,}6931471806}{0{,}0575364144}\approx 12{,}056\\ \text{dias}.
Arredondando para duas casas decimais:
t_{1/2} \approx 12{,}06\\ \text{dias}.

Resposta

(a) k = \dfrac{1}{5}\ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 0{,}05754\\ \text{dia}^{-1}
(b) t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} \approx 12{,}06\\ \text{dias}

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