(Desintegração radioativa) Um material radioativo tem massa inicial
200 mg . Após 5 dias, sua massa é reduzida para 150 mg . Sabendo que a taxa de decaimento da substância é proporcional à massa presente, determine:
(a) a constante de decaimento
;
(b) o tempo necessário para que a massa se reduza à metade da original.
(a) a constante de decaimento
(b) o tempo necessário para que a massa se reduza à metade da original.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas (peguei todos os números do enunciado):
- Massa inicial:
mg. - Após
dias, a massa é mg. - Perguntas:
(a) determinar a constante de decaimento;
(b) determinar o tempo necessário para a massa reduzir à metade da original (meio-vida).
Passo 2
Modelagem matemática e explicação do que significa “taxa de decaimento proporcional à massa presente”.
Quando a taxa de variação da massa é proporcional à massa que ainda existe, escrevemos isso como uma equação diferencial:
Aqui:
-
é a massa no instante (em mg). -
é o tempo (em dias). -
é a constante de decaimento (positiva), com unidade . - O sinal negativo indica que a massa diminui com o tempo.
Essa equação diz, em palavras, que a velocidade de perda de massa é proporcional à massa atual — quanto mais massa, mais rápido o decaimento em valor absoluto.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (a ideia usada comumente em provas).
Partimos de
Separamos variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Integramos os dois lados. Vou integrar do instante inicial
(onde
) até um tempo genérico
(onde
):
A integral do lado esquerdo é
. A do lado direito é
. Assim:
Usando a propriedade de logaritmos
, obtemos
Aplicando a exponencial aos dois lados chegamos à forma explícita da solução:
Esta é a fórmula padrão de decaimento exponencial:
diminui exponencialmente com constante
.
Passo 4
Usar os dados para determinar
.
Pelo enunciado, em
dias temos
mg. Substituindo na fórmula:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a fração:
logo
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
:
Usando a identidade
, fica também
Passo 5
Calcular numericamente
e dar a unidade.
Calcule
. Sabendo que
, então
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais no 2º dígito significativo) obtemos
Passo 6
Determinar a meia-vida
(tempo para a massa ficar igual a metade da original).
Definição: a meia-vida
é o tempo em que
. Usando a fórmula
, colocamos
Dividindo por
:
Tomando logaritmo natural:
Como
, temos
portanto
Passo 7
Calcular numericamente
.
Sabendo
e usando
, obtemos
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta
(a)
(b)
(b)