Nos itens abaixo determine a função inversa e construa o gráfico de f e f^{-1}.
f(x)=x^{2}+2 x-1, x \leq-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a função inversa de f (ou seja, f^{-1}).
  • Construir o gráfico de f e de f^{-1}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}+2 x-1 com domínio restrito a x\leq-1.

Passo 2

Entender a forma da função: completar o quadrado para ver vértice e comportamento. Escreve-se
f(x)=x^{2}+2x-1=(x+1)^{2}-2.
Aqui o termo (x+1)^{2} é sempre \geq 0. O vértice da parábola é no ponto (-1,-2). Isso nos dá informação sobre o mínimo da função: o menor valor de f é -2, atingido em x=-1.

Passo 3

Monotonicidade e injetividade na região dada: como a parábola abre para cima, para x\leq-1 a função percorre o ramo esquerdo da parábola. Para ver o que isso significa em palavras simples: quando x varia para valores menores que -1 (por exemplo de -1 para -2 para -3), o valor de (x+1)^{2} cresce, logo f(x) cresce. Visto da maneira padrão (quando x aumenta) a função é estritamente decrescente em x\leq-1. Portanto f é injetora nessa restrição de domínio e tem inversa bem definida sobre sua imagem.
Da expressão do vértice já sabemos a imagem (range) de f no domínio dado:
\text{Im}(f)=[-2,\infty).

Passo 4

Agora encontramos a inversa por método algébrico: escrever y=f(x) e resolver para x em função de y.
y=x^{2}+2x-1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+2x-(1+y)=0.
Isso é uma equação quadrática em x. Aplicando a fórmula quadrática:
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot(-1-y)}}{2}.
Calcule o discriminante:
\Delta=4-4(-1-y)=4+4+4y=4(2+y).
Logo
x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2+y}}{2}=-1\pm\sqrt{2+y}.

Passo 5

Escolher o sinal correto com base no domínio original x\leq-1: as duas soluções são x=-1+\sqrt{2+y} e x=-1-\sqrt{2+y}. Como \sqrt{2+y}\geq0, a solução com + x\geq-1 (não pertence ao domínio original), enquanto a solução com - x\leq-1 (compatível com o domínio). Portanto a inversa é a escolha com o sinal menos:
x=-1-\sqrt{2+y}.
Para escrever a inversa como função em variável usual x, trocamos y por x. Assim
f^{-1}(x)=-1-\sqrt{2+x}.

Passo 6

Determinar domínio e imagem de f^{-1}:
  • O radicando exige 2+x\geq0, logo o domínio de f^{-1} é x\geq-2. Isso coincide com a imagem de f (coerente).
  • Os valores de f^{-1} são \leq-1, pois f^{-1}(x)=-1-\sqrt{2+x}\leq-1. Isto coincide com o domínio original de f.

Passo 7

Pontos chave para traçar os gráficos (use estes pontos no rascunho; eles ajudam a visualizar e depois a refletir na reta y=x):
  • f(-1)=-2. Então no gráfico de f há o ponto (-1,-2). Na inversa isso vira o ponto (-2,-1).
  • f(-2)=-1. Então há o ponto (-2,-1) em f. Na inversa vira (-1,-2).
  • f(-3)=(-3)^{2}+2(-3)-1=9-6-1=2. Então (-3,2) está em f. Na inversa há (2,-3).
Como desenhar:
  1. Trace o sistema de eixos x- y e desenhe a reta de simetria y=x (linha auxiliar).
  2. Desenhe a parábola y=(x+1)^{2}-2 apenas para x\leq-1: comece no vértice (-1,-2) e siga para a esquerda subindo (por exemplo passando por (-2,-1) e (-3,2)).
  3. Para obter f^{-1}, reflita cada ponto da curva de f na reta y=x. O traçado resultante é a curva y=-1-\sqrt{2+x} definida para x\geq-2. Se preferir, desenhe diretamente a função f^{-1} usando sua fórmula: para x=-2 tem f^{-1}(-2)=-1; para x=-1 tem f^{-1}(-1)=-2; para x=2 tem f^{-1}(2)=-3. A curva de f^{-1} ficará à direita da reta x=-2 e abaixo de y=-1, aproximando-se para +\infty em y negativo conforme x\to\infty.

Passo 8

Resumo final das fórmulas e domínios (para conferência antes de finalizar):
f(x)=x^{2}+2x-1,\quad x\leq-1,\qquad \text{Im}(f)=[-2,\infty).
f^{-1}(x)=-1-\sqrt{2+x},\quad x\geq-2,\qquad \text{Im}(f^{-1})=(-\infty,-1].

Resposta

f^{-1}(x)=-1-\sqrt{2+x},\\ \text{domínio }x\geq-2í
Gráficos: f é o ramo esquerdo da parábola y=(x+1)^{2}-2 para x\leq-1; f^{-1} é sua reflexão na reta y=x e pode ser desenhada diretamente pela curva y=-1-\sqrt{2+x} para x\geq-2.

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