Nos itens abaixo determine a função inversa e construa o gráfico de
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a função inversa de
(ou seja, ). - Construir o gráfico de
e de .
Informações fornecidas:
- A função é
com domínio restrito a .
Passo 2
Entender a forma da função: completar o quadrado para ver vértice e comportamento. Escreve-se
Aqui o termo
é sempre
. O vértice da parábola é no ponto
. Isso nos dá informação sobre o mínimo da função: o menor valor de
é
, atingido em
.
Passo 3
Monotonicidade e injetividade na região dada: como a parábola abre para cima, para
a função percorre o ramo esquerdo da parábola. Para ver o que isso significa em palavras simples: quando
varia para valores menores que
(por exemplo de
para
para
), o valor de
cresce, logo
cresce. Visto da maneira padrão (quando
aumenta) a função é estritamente decrescente em
. Portanto
é injetora nessa restrição de domínio e tem inversa bem definida sobre sua imagem.
Da expressão do vértice já sabemos a imagem (range) de
no domínio dado:
Passo 4
Agora encontramos a inversa por método algébrico: escrever
e resolver para
em função de
.
Isso é uma equação quadrática em
. Aplicando a fórmula quadrática:
Calcule o discriminante:
Logo
Passo 5
Escolher o sinal correto com base no domínio original
: as duas soluções são
e
. Como
, a solução com
dá
(não pertence ao domínio original), enquanto a solução com
dá
(compatível com o domínio). Portanto a inversa é a escolha com o sinal menos:
Para escrever a inversa como função em variável usual
, trocamos
por
. Assim
Passo 6
Determinar domínio e imagem de
:
- O radicando exige
, logo o domínio de é . Isso coincide com a imagem de (coerente). - Os valores de
são , pois . Isto coincide com o domínio original de .
Passo 7
Pontos chave para traçar os gráficos (use estes pontos no rascunho; eles ajudam a visualizar e depois a refletir na reta
):
-
. Então no gráfico de há o ponto . Na inversa isso vira o ponto . -
. Então há o ponto em . Na inversa vira . -
. Então está em . Na inversa há .
Como desenhar:
- Trace o sistema de eixos
- e desenhe a reta de simetria (linha auxiliar). - Desenhe a parábola
apenas para : comece no vértice e siga para a esquerda subindo (por exemplo passando por e ). - Para obter
, reflita cada ponto da curva de na reta . O traçado resultante é a curva definida para . Se preferir, desenhe diretamente a função usando sua fórmula: para tem ; para tem ; para tem . A curva de ficará à direita da reta e abaixo de , aproximando-se para em negativo conforme .
Passo 8
Resumo final das fórmulas e domínios (para conferência antes de finalizar):
Resposta
Gráficos: