O que é crescimento e decaimento exponencial? Dê um exemplo de cada.

Passo 1

O enunciado pergunta o que são crescimento e decaimento exponencial e pede um exemplo de cada. O conteúdo envolve funções da forma
y(t)=y_{0}e^{kt},
onde y_{0} é o valor inicial, k é a taxa de variação e t é a variável independente (por exemplo, tempo).

Passo 2

Crescimento exponencial ocorre quando a taxa de variação é positiva e proporcional ao valor atual. Matematicamente, isso significa escolher k>0 em
y(t)=y_{0}e^{kt}.
Nesse caso, sempre que t aumenta, y(t) cresce mais e mais rápido, porque quanto maior y, maior o acréscimo por unidade de tempo.

Passo 3

Exemplo de crescimento exponencial: crescimento populacional em um ambiente sem limitações. Se começamos com y_{0}=100 indivíduos e uma taxa de k=0,02 por ano, a população num tempo t anos é
y(t)=100\,e^{0,02t}.
Isso mostra uma curva que sobe cada vez mais rápido.

Passo 4

Decaimento exponencial acontece quando a taxa de variação é negativa, ou seja, k<0 em
y(t)=y_{0}e^{kt}.
Nesse caso, conforme t aumenta, y(t) diminui cada vez mais rápido, pois a perda por unidade de tempo é proporcional ao valor atual.

Passo 5

Exemplo de decaimento exponencial: desintegração radioativa. Se tivermos N_{0}=500 núcleos e uma constante de decaimento k=-0,1 por hora, o número de núcleos ativos após t horas é
N(t)=500\,e^{-0,1t}.
Isso gera uma curva que cai rapidamente no início e depois vai descendo mais lentamente.

Resposta

Crescimento exponencial: função
y(t)=y_{0}e^{kt},\quad k>0,
exemplo: y(t)=100\,e^{0,02t} (população).
Decaimento exponencial: função
y(t)=y_{0}e^{kt},\quad k<0,
exemplo: N(t)=500\,e^{-0,1t} (radioatividade).

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