Questão 1. Encontre a solução geral das EDLH dadas abaixo.
\qquad 4 y^{\prime \prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
4y'' + 9y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO num polinômio em r.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y = e^{rx}. Então y'' = r^2 e^{rx} e, ao substituir na EDO, obtemos
4r^2 e^{rx} + 9e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0, a parte que importa é a equação característica
4r^2 + 9 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação
4r^2 + 9 = 0
temos
r^2 = -\frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm \frac{3}{2}i.

Passo 4

Quando as raízes são complexas conjugadas r = \pm i\omega com \omega = \tfrac{3}{2}, a solução geral real se escreve como combinação de cosseno e seno:
y(x) = C_1 \cos\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr) + C_2 \sin\bigl(\tfrac{3}{2}x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 \cos\Bigl(\tfrac{3}{2}x\Bigr) + C_2 \sin\Bigl(\tfrac{3}{2}x\Bigr).

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