Questão 1. Encontre a solução geral das EDLH dadas abaixo.
\qquad y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-8 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y'' + 2y' - 8y = 0
que é uma EDLH (equação diferencial linear homogênea) de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^{rx}. Então
y' = r\,e^{rx},
y''=r^2\,e^{rx}.
Substituindo em y''+2y'-8y=0 e dividindo por e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^2 + 2r - 8 = 0.

Passo 3

Resolvendo o polinômio \,r^2 + 2r - 8 = 0\; pela fórmula de Bhaskara, temos
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot(-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}.
Logo
r_1 = 2, \quad r_2 = -4.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDLH é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x} = C_1\,e^{2x} + C_2\,e^{-4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-4x}

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