Crescimento de Fungos
Enunciado: Uma colônia de fungos em uma placa de Petri cresce a uma taxa proporcional à sua área. A área inicial da colônia é de
. Após 24 horas, a área dobra.
(a) Encontre uma expressão para a área da colônia em função do tempo (em horas).
(b) Qual será a área da colônia após 48 horas?
(c) Quanto tempo levará para a área da colônia atingir
?
(a) Encontre uma expressão para a área da colônia em função do tempo (em horas).
(b) Qual será a área da colônia após 48 horas?
(c) Quanto tempo levará para a área da colônia atingir
Passo 1
A questão trata de uma colônia de fungos cuja área cresce proporcionalmente à própria área, ou seja, dA/dt = kA, com A(0) = 4 mm² e A(24) = 8 mm². O conteúdo é modelo de crescimento exponencial e vamos precisar montar a equação diferencial, resolver para A(t) e achar a constante k.
Passo 2
Para resolver dA/dt = kA, separamos variáveis e integramos:
Aplicando a condição inicial A(0)=4, obtemos C = \ln 4, logo:
Passo 3
Usando A(24)=8, substituímos em
:
Passo 4
Substituindo k em A(t), obtemos a expressão buscada:
que também pode ser escrita como
Passo 5
Para t = 48 h, basta usar a fórmula:
Passo 6
Para achar t tal que A(t)=20 mm², resolvemos
Resposta
a)
ou
. b) 16 mm². c)
horas.