Crescimento de Fungos
Enunciado: Uma colônia de fungos em uma placa de Petri cresce a uma taxa proporcional à sua área. A área inicial da colônia é de 4 mm^2. Após 24 horas, a área dobra.
(a) Encontre uma expressão para a área da colônia em função do tempo (em horas).
(b) Qual será a área da colônia após 48 horas?
(c) Quanto tempo levará para a área da colônia atingir 20 mm^2 ?

Passo 1

A questão trata de uma colônia de fungos cuja área cresce proporcionalmente à própria área, ou seja, dA/dt = kA, com A(0) = 4 mm² e A(24) = 8 mm². O conteúdo é modelo de crescimento exponencial e vamos precisar montar a equação diferencial, resolver para A(t) e achar a constante k.

Passo 2

Para resolver dA/dt = kA, separamos variáveis e integramos:
integral dAA = integral k,dt
ln A = kt + C
Aplicando a condição inicial A(0)=4, obtemos C = \ln 4, logo:
A(t)=4,e^kt

Passo 3

Usando A(24)=8, substituímos em A(t)=4e^kt:
8 = 4,e^24k Rightarrow e^24k=2 Rightarrow k=ln 224

Passo 4

Substituindo k em A(t), obtemos a expressão buscada:
A(t)=4,e^(ln 2/24),t,
que também pode ser escrita como
A(t)=4cdot2^t/24

Passo 5

Para t = 48 h, basta usar a fórmula:
A(48)=4,e^(ln2/24)cdot48=4,e^2ln2=4cdot2^2=16\mm².

Passo 6

Para achar t tal que A(t)=20 mm², resolvemos
20=4,e^(ln2/24)tRightarrow5=e^(ln2/24)tRightarrow t=24ln5ln2approx55,7h

Resposta

a) A(t)=4,e^(ln2/24)t ou 4cdot2^t/24. b) 16 mm². c) t=24ln5ln2approx55,7 horas.

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