Resfriamento de Bebida
Enunciado: Uma garrafa de refrigerante é retirada da geladeira a uma temperatura de
e colocada em uma sala à temperatura ambiente de
. Após 10 minutos, a temperatura do refrigerante é de
.
(a) Determine a temperatura do refrigerante em função do tempo.
(b) Qual será a temperatura do refrigerante após 20 minutos?
(c) Quanto tempo levará para o refrigerante atingir a temperatura de
?
(a) Determine a temperatura do refrigerante em função do tempo.
(b) Qual será a temperatura do refrigerante após 20 minutos?
(c) Quanto tempo levará para o refrigerante atingir a temperatura de
Passo 1
O enunciado trata de resfriamento de Newton: uma garrafa sai da geladeira a 5 °C e fica em sala a 25 °C. Após 10 min, está a 12 °C. Vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que leva a uma ODE do tipo
onde
e
.
Passo 2
A solução geral da ODE é obtida separando variáveis e integrando:
Aqui,
.
Passo 3
Usando a condição
, substituímos na solução geral:
Isso dá
Passo 4
De
segue
Tomando logaritmo:
Passo 5
Substituindo
na solução geral, obtemos a temperatura em função do tempo:
Passo 6
Para
min calculamos
Passo 7
Para achar o tempo em que
, fazemos:
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Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)