Resfriamento de Bebida
Enunciado: Uma garrafa de refrigerante é retirada da geladeira a uma temperatura de 5^circ C e colocada em uma sala à temperatura ambiente de 25^circ C. Após 10 minutos, a temperatura do refrigerante é de 12^circ C.
(a) Determine a temperatura do refrigerante em função do tempo.
(b) Qual será a temperatura do refrigerante após 20 minutos?
(c) Quanto tempo levará para o refrigerante atingir a temperatura de 20^circ C ?

Passo 1

O enunciado trata de resfriamento de Newton: uma garrafa sai da geladeira a 5 °C e fica em sala a 25 °C. Após 10 min, está a 12 °C. Vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que leva a uma ODE do tipo
dTdt=k,(Ta-T)
onde Ta=25,^circC e T(0)=5,^circC.

Passo 2

A solução geral da ODE é obtida separando variáveis e integrando:
T(t)=Ta-(Ta-T0)e^-k t
Aqui, T0=5,^circC.

Passo 3

Usando a condição T(10)=12,^circC, substituímos na solução geral:
12=25-(25-5)e^-10k
Isso dá
20e^-10k=13

Passo 4

De 20e^-10k=13 segue
e^-10k=1320
Tomando logaritmo:
-10k=ln1320Longrightarrow k=110ln2013approx0,04306,min^-1

Passo 5

Substituindo k na solução geral, obtemos a temperatura em função do tempo:
T(t)=25-20,e^-0,04306,t

Passo 6

Para t=20 min calculamos
T(20)=25-20l(1320r)^2approx16,55,^circC

Passo 7

Para achar o tempo em que T(t)=20,^circC, fazemos:
25-20e^-0,04306,t=20
Logo
e^-0,04306,t=14Longrightarrow t=ln40,04306approx32,2,min

Resposta

(a) T(t)=25-20e^-0,04306,t
(b) T(20)approx16,55,^circC
(c) tapprox32,2,min

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