Mistura de Solução Salina
Enunciado: Um tanque contém 100 litros de água pura. Uma solução salina com concentração de 0.1 kg de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 litros
, e a mistura é drenada à mesma taxa.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque em função do tempo.
(b) Qual a quantidade de sal no tanque após 30 minutos?
(c) Quanto tempo levará para a concentração de sal no tanque atingir 0.08
?
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque em função do tempo.
(b) Qual a quantidade de sal no tanque após 30 minutos?
(c) Quanto tempo levará para a concentração de sal no tanque atingir 0.08
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura em tanque: temos inicialmente 100 L de água pura e entra solução salina com concentração 0,1 kg/L à vazão de 2 L/min, saindo mistura na mesma vazão. O conteúdo é um modelo de equação diferencial linear do tipo “entrada menos saída” de sal. Vamos montar e resolver essa ODE para encontrar a quantidade de sal
.
Passo 2
Para montar a ODE, notamos que
– Taxa de entrada de sal é
– Taxa de entrada de sal é
– Taxa de saída de sal é
Logo a equação diferencial é
Passo 3
Essa é uma ODE linear da forma
O estado estacionário
satisfaz
A solução geral é
Como
, temos
Passo 4
Passo 5
Para
min,
Passo 6
A concentração no tanque é
kg/L. Queremos
Então
Resposta
(a)
kg.
(b)
kg.
(c)
min.