Mistura de Solução Salina
Enunciado: Um tanque contém 100 litros de água pura. Uma solução salina com concentração de 0.1 kg de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 litros / min, e a mistura é drenada à mesma taxa.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque em função do tempo.
(b) Qual a quantidade de sal no tanque após 30 minutos?
(c) Quanto tempo levará para a concentração de sal no tanque atingir 0.08 kg / L ?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura em tanque: temos inicialmente 100 L de água pura e entra solução salina com concentração 0,1 kg/L à vazão de 2 L/min, saindo mistura na mesma vazão. O conteúdo é um modelo de equação diferencial linear do tipo “entrada menos saída” de sal. Vamos montar e resolver essa ODE para encontrar a quantidade de sal S(t).

Passo 2

Para montar a ODE, notamos que
– Taxa de entrada de sal é
(vazão)times(concentração) = 2;L/mintimes0,1;kg/L = 0,2;kg/min ãçã
– Taxa de saída de sal é
(vazão)times(concentração no tanque) = 2;L/mintimesS(t)100;L = 2,S(t)100 = S(t)50;kg/min ãçã
Logo a equação diferencial é
dSdt = 0,2 - S50

Passo 3

Essa é uma ODE linear da forma
dSdt + 150S = 0,2
O estado estacionário Sinfty satisfaz
0 + 150Sinfty = 0,2 Longrightarrow Sinfty = 0,2times50 = 10;kg
A solução geral é
S(t) = Sinfty + l(S(0)-Sinftyr)e^-t/50
Como S(0)=0, temos

Passo 4

S(t) = 10l(1 - e^-t/50r);kg

Passo 5

Para t=30 min,
S(30) = 10l(1 - e^-30/50r) = 10l(1 - e^-0,6r) approx 10l(1 - 0,5488r) approx 4,5119;kg

Passo 6

A concentração no tanque é tfracS(t)100 kg/L. Queremos
S(t)100 = 0,08 Longrightarrow S(t) = 8;kg
Então
10l(1 - e^-t/50r) = 8 Longrightarrow 1 - e^-t/50 = 0,8 Longrightarrow e^-t/50 = 0,2
Longrightarrow -t/50 = ln(0,2) Longrightarrow t = -50,ln(0,2)approx 80,47;min

Resposta

(a) S(t) = 10l(1 - e^-t/50r) kg.
(b) S(30)approx 4,512 kg.
(c) t = -50ln(0,2)approx 80,47 min.

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