Determine o vetor gradiente da função f(x, y)=2 x^{3}-5 x y+4 y^{2} no ponto (1,-1).
a. N.D.A.
b. (-11,4)
C. (11,-13)
d. (11,13)
e. (-11,-13)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{3}-5xy+4y^{2} e pede o vetor gradiente em (1,-1). Vamos precisar usar derivadas parciais para obter \nabla f=(f_x,f_y).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{3}-5xy+4y^{2})=6x^{2}-5y,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{3}-5xy+4y^{2})=-5x+8y.

Passo 3

Avaliar em (x,y)=(1,-1):
f_x(1,-1)=6\cdot1^{2}-5\cdot(-1)=6+5=11,
f_y(1,-1)=-5\cdot1+8\cdot(-1)=-5-8=-13.
Logo \nabla f(1,-1)=(11,-13).

Passo 4

Comparando com as alternativas, (11,-13) corresponde à opção C.

Resposta

(C)

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