2 - Numa criação de bois, no Brasil, 40 % são machos. Em um certo dia, devido ao regime pecuário intensivo, nasceram 20 bezerros. Com base nisso, responda :
a) Qual a variável ( X ) em estudo no texto?
b) Qual a probabilidade de pelo menos dois sejam machos?
c) Com base no texto, calcule a E(X) e a Var(X)

Passo 1

O enunciado diz que em um dia nasceram 20 bezerros, cada um com probabilidade de 40% de ser macho, sob regime independente. O conteúdo da matéria é a distribuição binomial, pois temos um número fixo de ensaios (nascimentos) independentes, cada um com a mesma probabilidade de “sucesso” (ser macho).

Passo 2

A variável X em estudo é o número de bezerros machos entre os 20 nascimentos. Logo definimos
XsimBin(n=20,p=0.4)

Passo 3

Para calcular a probabilidade de pelo menos dois machos, escrevemos
P(X>=2)=1-P(X<2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]
Sabemos que
P(X=0)=(1-p)^n=0.6^20,
P(X=1)=binom201p^1(1-p)^19=20cdot0.4cdot0.6^19
Portanto
P(X>=2)=1-l(0.6^20+20cdot0.4cdot0.6^19r)approx0.99948

Passo 4

Para a distribuição binomial valem as fórmulas
E(X)=npeVar(X)=np(1-p)
Substituindo n=20 e p=0.4, temos
E(X)=20cdot0.4=8,
Var(X)=20cdot0.4cdot0.6=4.8

Resposta

a) A variável X é o número de bezerros machos entre os 20 nascimentos.
b) P(X>=2)=1-[0.6^20+20cdot0.4cdot0.6^19]approx0.99948
c) E(X)=8 e Var(X)=4.8.

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