Um grupo de alunos foi convocado a participar das olimpíadas internacionais de matemática da Noruega, onde quem acertasse 80 % da prova, ganhava uma hospedagem de 1 mês em um hotel 5 estrelas no país onde o torneio estava sendo efetuado. A prova era composta de 50 questões, podendo marcar apenas V ou F (Verdadeiro ou Falso). Qual a probabilidade de ganhar o torneio, e consequentemente a hospedagem?

Passo 1

O enunciado fala de uma prova de 50 questões V/F e que quem acertar 80% (ou mais) ganha a hospedagem. O objetivo é achar a probabilidade de, ao chutar todas as respostas (p=0,5), obter pelo menos 40 acertos.

Passo 2

Como cada questão tem apenas duas opções e as escolhas são independentes, o número de acertos X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n=50 e p=0,5. Isso significa que
P(X=k)=binom50kl(tfrac12r)^50
é a probabilidade de exatamente k acertos.

Passo 3

Queremos a probabilidade de ganhar, isto é, de acertar 40 ou mais questões. Logo, basta somar P(X=k) de k=40 até k=50:
P(X>=40)=sumk=40^50binom50kl(tfrac12r)^50

Passo 4

Para ter uma ideia do valor numérico, podemos notar que este é o mesmo que a cauda inferior até 10 erros, e usando aproximação normal ou tabela binomial, chega-se a um valor muito pequeno, da ordem de 2×10^{-5}.

Resposta

P=sumk=40^50binom50kl(tfrac12r)^50approx2times10^-5

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