Nas equações a seguir, complete o quadrado na variável adequada, encontre o vértice das parábolas definidas por essas equações e esboce o gráfico de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado fornece a equação da curva
e pede três coisas:
- Completar o quadrado na variável adequada.
- Encontrar o vértice da parábola definida por essa equação.
- Esboçar o gráfico da parábola.
Informações relevantes dadas:
- A equação relaciona
e . - Não há outras equações ou imagens; tudo o que precisamos está na equação acima.
Passo 2
Primeiro passo prático: isolar
para escrever a parábola como função de
. Isso facilita completar o quadrado na variável
(que é a variável que aparece em termos quadráticos). Da equação dada:
subtrai-se
dos dois lados ou, mais diretamente, isolamos
:
Observação amigável: a parábola está escrita como
(polinômio em
). Quando temos
em função de
, completar o quadrado em
leva à forma de vértice.
Passo 3
Vou explicar o método de completar o quadrado de forma didática e aplicada ao caso. Regra prática: para transformar
em um quadrado perfeito, usamos
Aqui temos
, então
. Aplicando a fórmula:
- Calcular
. - Então
Calcule o quadrado
. Portanto:
Passo 4
Agora reescrevemos
usando a forma completada:
Essa é a forma de vértice (forma canônica) de uma parábola em
:
onde
é o vértice. Comparando, vemos que
Logo o vértice é o ponto
Em números decimais, isso é
.
Explicação rápida do porquê: na forma
, o menor valor de
é
(quando
), então o menor valor de
é
; por isso
é o vértice. Como o coeficiente de
é positivo (+1), a parábola abre para cima.
Passo 5
Vamos obter pontos úteis para esboçar o gráfico e caracterizar a curva:
- Zeros (interseções com o eixo
): resolvemos em :
Portanto a parábola corta o eixo
em
e
. Observação: peguei esses valores resolvendo a equação original após isolar
.
- Interseção com o eixo
: em , . (Já aparece como .) - Eixo de simetria: reta vertical passando pelo vértice, dada por
. - Pontos adicionais para orientar o esboço (cálculos simples):
- Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto .
Esses pontos confirmam a simetria:e simétricos em torno de , e e também.
- Para
Passo 6
Como esboçar (instruções práticas, passo a passo):
- Marque o vértice em
— ou . - Trace a linha de simetria vertical
. - Marque as interseções com o eixo
em e . - Marque os pontos
, , , . - Desenhe uma curva suave que passe pelo vértice, por esses pontos e que abra para cima (formato de “U”).
Dica amiga: como a parábola é simétrica, basta desenhar o lado esquerdo e refletir pelo eixo
. Não precisa de muitos pontos para um esboço razoável.
Resposta
Vértex:
Parábola abre para cima; eixo de simetria