Nas equações a seguir, complete o quadrado na variável adequada, encontre o vértice das parábolas definidas por essas equações e esboce o gráfico de cada uma delas.
-x^{2}+5 x+y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação da curva
-x^{2}+5x+y=0
e pede três coisas:
  • Completar o quadrado na variável adequada.
  • Encontrar o vértice da parábola definida por essa equação.
  • Esboçar o gráfico da parábola.
Informações relevantes dadas:
  • A equação relaciona x e y.
  • Não há outras equações ou imagens; tudo o que precisamos está na equação acima.

Passo 2

Primeiro passo prático: isolar y para escrever a parábola como função de x. Isso facilita completar o quadrado na variável x (que é a variável que aparece em termos quadráticos). Da equação dada:
-x^{2}+5x+y=0
subtrai-se -x^{2}+5x dos dois lados ou, mais diretamente, isolamos y:
y = x^{2}-5x.
Observação amigável: a parábola está escrita como y= (polinômio em x). Quando temos y em função de x, completar o quadrado em x leva à forma de vértice.

Passo 3

Vou explicar o método de completar o quadrado de forma didática e aplicada ao caso. Regra prática: para transformar x^{2}+bx em um quadrado perfeito, usamos
x^{2}+bx = \bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Aqui temos x^{2}-5x, então b=-5. Aplicando a fórmula:
  • Calcular \tfrac{b}{2}=\tfrac{-5}{2}=-\tfrac{5}{2}.
  • Então
x^{2}-5x = \bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}.
Calcule o quadrado \bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{25}{4}. Portanto:
x^{2}-5x = \bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{25}{4}.

Passo 4

Agora reescrevemos y usando a forma completada:
y = \bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{25}{4}.
Essa é a forma de vértice (forma canônica) de uma parábola em x:
y=(x-h)^{2}+k
onde (h,k) é o vértice. Comparando, vemos que
h=\tfrac{5}{2},\qquad k=-\tfrac{25}{4}.
Logo o vértice é o ponto
\left(\tfrac{5}{2},-\tfrac{25}{4}\right).
Em números decimais, isso é \left(2{,}5,\,-6{,}25\right).
Explicação rápida do porquê: na forma (x-h)^{2}+k, o menor valor de (x-h)^{2} é 0 (quando x=h), então o menor valor de y é k; por isso (h,k) é o vértice. Como o coeficiente de (x-h)^{2} é positivo (+1), a parábola abre para cima.

Passo 5

Vamos obter pontos úteis para esboçar o gráfico e caracterizar a curva:
  • Zeros (interseções com o eixo x): resolvemos y=0 em x^{2}-5x=0:
x(x-5)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \text{ ou } x=5.
Portanto a parábola corta o eixo x em (0,0) e (5,0). Observação: peguei esses valores resolvendo a equação original após isolar y.
  • Interseção com o eixo y: em x=0, y=0. (Já aparece como (0,0).)
  • Eixo de simetria: reta vertical passando pelo vértice, dada por x=\tfrac{5}{2}.
  • Pontos adicionais para orientar o esboço (cálculos simples):
    • Para x=1: y=1^{2}-5\cdot1=1-5=-4 → ponto (1,-4).
    • Para x=2: y=4-10=-6 → ponto (2,-6).
    • Para x=3: y=9-15=-6 → ponto (3,-6).
    • Para x=4: y=16-20=-4 → ponto (4,-4).
      Esses pontos confirmam a simetria: (2,-6) e (3,-6) simétricos em torno de x=2{,}5, e (1,-4) e (4,-4) também.

Passo 6

Como esboçar (instruções práticas, passo a passo):
  1. Marque o vértice em \left(\tfrac{5}{2},-\tfrac{25}{4}\right) — ou (2{,}5,-6{,}25).
  2. Trace a linha de simetria vertical x=\tfrac{5}{2}.
  3. Marque as interseções com o eixo x em (0,0) e (5,0).
  4. Marque os pontos (1,-4), (2,-6), (3,-6), (4,-4).
  5. Desenhe uma curva suave que passe pelo vértice, por esses pontos e que abra para cima (formato de “U”).
Dica amiga: como a parábola é simétrica, basta desenhar o lado esquerdo e refletir pelo eixo x=\tfrac{5}{2}. Não precisa de muitos pontos para um esboço razoável.

Resposta

y=\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{25}{4}\n
Vértex: \left(\tfrac{5}{2},-\tfrac{25}{4}\right)\n
Parábola abre para cima; eixo de simetria x=\tfrac{5}{2}; raízes em x=0 e x=5 (pontos (0,0) e (5,0)).

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