Nas equações a seguir, complete o quadrado na variável adequada, encontre o vértice das parábolas definidas por essas equações e esboce o gráfico de cada uma delas.
y=-x^{2}+x-1

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
y=-x^{2}+x-1
e pede três coisas:
  • completar o quadrado na variável adequada (escrever a parábola na forma canônica);
  • encontrar o vértice da parábola;
  • esboçar o gráfico da parábola.
Dados importantes que já temos: os coeficientes da função são a=-1, b=1 e c=-1 na forma geral y=ax^{2}+bx+c.

Passo 2

Breve lembrete do método de completar o quadrado (passo a passo didático).
  • Para uma quadrática y=ax^{2}+bx+c com a\neq0, a forma canônica é
y=a(x-h)^{2}+k,
onde (h,k) é o vértice.
  • Procedimento prático: fatorar a dos dois primeiros termos ax^{2}+bx, completar o quadrado dentro do parêntese e ajustar os termos que aparecerem fora. Vou aplicar isso passo a passo à função dada.

Passo 3

Fatorar a=-1 dos termos que envolvem x:
y=-x^{2}+x-1 = -\bigl(x^{2}-x\bigr)-1.
Agora vou completar o quadrado dentro do parêntese \bigl(x^{2}-x\bigr).

Passo 4

Completar o quadrado de x^{2}-x.
  • Tomo o coeficiente de x, que é -1, divido por 2 e elevo ao quadrado: \left(\dfrac{-1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
  • Então escrevo
x^{2}-x = \bigl(x^{2}-x+\tfrac{1}{4}\bigr)-\tfrac{1}{4} = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Substituo isso na expressão anterior.

Passo 5

Substituindo na expressão de y:
y = -\Bigl(\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)-1.
Distribuo o sinal negativo e somo os termos constantes (cuide para não misturar símbolos fora dos ambientes matemáticos):
y = -\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{1}{4} - 1.
Calculo \tfrac{1}{4}-1 = -\tfrac{3}{4}. Assim obtenho a forma canônica (completando o quadrado):
y = -\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{3}{4}.

Passo 6

Identificar o vértice a partir da forma canônica.
  • Na forma y=a(x-h)^{2}+k o vértice é (h,k). Aqui h=\tfrac{1}{2} e k=-\tfrac{3}{4}.
    Portanto o vértice é
\bigl(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{3}{4}\bigr).

Passo 7

Características úteis para esboçar o gráfico:
  • Como a=-1<0, a parábola abre para baixo (ou seja, tem um máximo no vértice).
  • Eixo de simetria: x=\tfrac{1}{2}.
  • Intercepto em y (quando x=0): usei x=0 na expressão original y=-x^{2}+x-1, então
y(0) = -0 + 0 -1 = -1,
logo o ponto (0,-1) é o intercepto em y.
  • Interceptos em x (raízes): resolver 0=-x^{2}+x-1 é equivalente a x^{2}-x+1=0. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3 <0,
portanto não há raízes reais (a parábola não corta o eixo x).

Passo 8

Montar alguns pontos simétricos para desenhar:
  • Vértice: \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{4}\bigr).
  • Intercepto em y: (0,-1). Pela simetria em torno de x=\tfrac{1}{2}, o ponto simétrico com a mesma y é (1,-1) (verificação direta: y(1)=-1).
  • Outros pontos: x=-1 y(-1)=-3 (logo (-1,-3)); por simetria x=2 também dá y(2)=-3 (logo (2,-3)).
    Com esses pontos e sabendo que a parábola abre para baixo e não corta o eixo x, já é possível esboçar o gráfico: vértice acima de (0,-1) e (1,-1), curvas descendo para (-1,-3) e (2,-3), sem interseção com o eixo x.

Passo 9

Dicas rápidas para esboçar na prova sem calculadora:
  • Desenhe os eixos, marque o eixo de simetria x=\tfrac{1}{2}.
  • Marque o vértice em \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{4}\bigr).
  • Marque (0,-1) e (1,-1) que ficam um à esquerda e outro à direita do eixo de simetria.
  • Trace a curva simétrica que passa por esses pontos e vai para baixo (concavidade para baixo), sem cruzar o eixo x.

Resposta

y=-\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{3}{4}
Vértice: \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{4}\bigr)
A parábola abre para baixo, eixo de simetria x=\tfrac{1}{2}, intercepto em y em (0,-1) e sem raízes reais (não corta o eixo x).

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