Nas equações a seguir, complete o quadrado na variável adequada, encontre o vértice das parábolas definidas por essas equações e esboce o gráfico de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede três coisas:
- completar o quadrado na variável adequada (escrever a parábola na forma canônica);
- encontrar o vértice da parábola;
- esboçar o gráfico da parábola.
Dados importantes que já temos: os coeficientes da função são
,
e
na forma geral
.
Passo 2
Breve lembrete do método de completar o quadrado (passo a passo didático).
- Para uma quadrática
com , a forma canônica é
onde
é o vértice.
- Procedimento prático: fatorar
dos dois primeiros termos , completar o quadrado dentro do parêntese e ajustar os termos que aparecerem fora. Vou aplicar isso passo a passo à função dada.
Passo 3
Fatorar
dos termos que envolvem
:
Agora vou completar o quadrado dentro do parêntese
.
Passo 4
Completar o quadrado de
.
- Tomo o coeficiente de
, que é , divido por e elevo ao quadrado: . - Então escrevo
Substituo isso na expressão anterior.
Passo 5
Substituindo na expressão de
:
Distribuo o sinal negativo e somo os termos constantes (cuide para não misturar símbolos fora dos ambientes matemáticos):
Calculo
. Assim obtenho a forma canônica (completando o quadrado):
Passo 6
Identificar o vértice a partir da forma canônica.
- Na forma
o vértice é . Aqui e .
Portanto o vértice é
Passo 7
Características úteis para esboçar o gráfico:
- Como
, a parábola abre para baixo (ou seja, tem um máximo no vértice). - Eixo de simetria:
. - Intercepto em
(quando ): usei na expressão original , então
logo o ponto
é o intercepto em
.
- Interceptos em
(raízes): resolver é equivalente a . O discriminante é
portanto não há raízes reais (a parábola não corta o eixo
).
Passo 8
Montar alguns pontos simétricos para desenhar:
- Vértice:
. - Intercepto em
: . Pela simetria em torno de , o ponto simétrico com a mesma é (verificação direta: ). - Outros pontos:
dá (logo ); por simetria também dá (logo ).
Com esses pontos e sabendo que a parábola abre para baixo e não corta o eixo, já é possível esboçar o gráfico: vértice acima de e , curvas descendo para e , sem interseção com o eixo .
Passo 9
Dicas rápidas para esboçar na prova sem calculadora:
- Desenhe os eixos, marque o eixo de simetria
. - Marque o vértice em
. - Marque
e que ficam um à esquerda e outro à direita do eixo de simetria. - Trace a curva simétrica que passa por esses pontos e vai para baixo (concavidade para baixo), sem cruzar o eixo
.
Resposta
Vértice:
A parábola abre para baixo, eixo de simetria