Um criador de gado tem um bezerro de determinada raça para vender. Esse bezerro pesa atualmente 200 kg e engorda 2 kg por dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais peso. Entretanto, um dos funcionários lembra ao criador que o preço de venda, que hoje é R 0,00 por kg, está caindo Rá 0,40 por dia. Com base nessas informações fornecidas, mantida a situação atual, faça o que se pede:
a. Determine a melhor data para vender o bezerro, contada a partir de hoje.
b. Calcule o valor, em reais, que será arrecadado em tal venda.
c. Faça o gráfico que represente o valor y a ser arrecadado pelo criador na venda do bezerro (em reais), em função do tempo x de espera (em dias).
d. Determine quantos dias levará para que o total arrecadado pelo criador seja zero.

Passo 1

Vamos chamar de x o número de dias a partir de hoje. A massa do bezerro em função de x é
w(x)=200+2x\quad(\text{kg}).
O preço por quilo cai R$0,40 por dia e hoje vale R$ 0,00, logo
p(x)=-0,4\,x\quad(\text{R\$\\ por kg}).
O valor total arrecadado em função de x é
y(x)=w(x)\,p(x)=(200+2x)(-0,4x)=-0,8\,x^2-80\,x.
Queremos:
a) o x que maximiza y(x) em x\ge0.
b) o valor y máximo.
c) o esboço do gráfico de y(x).
d) a solução de y(x)=0 para x\ge0.

Passo 2

Como y(x)=-0,8x^2-80x é parábola com coeficiente de x^2 negativo, o máximo teórico daria-se na abscissa
x^*=-\frac{b}{2a}=-\frac{-80}{2\cdot(-0,8)}=-\frac{80}{-1,6}=-50\\ (\text{dias}),
que não está no domínio x\ge0. Portanto, o máximo em x\ge0 ocorre no extremo x=0.

Passo 3

No ponto x=0
y(0)=-0,8\cdot0^2-80\cdot0=0.
Logo a melhor data de venda é hoje x=0 e o valor arrecadado é R$ 0,00.

Passo 4

O gráfico de y(x) é a parábola aberta para baixo, com vértice em (-50,-2000) e interceptação em y=0 quando x=0. Esboço:
– em x=0, y=0;
– para x>0, y(x) torna-se negativa e decresce sem limite.

Passo 5

Para achar quando y(x)=0 além de x=0, resolvemos
-0,8x^2-80x=0
x(-0,8x-80)=0
x=0\quad\text{ou}\quad -0,8x-80=0\Rightarrow x=-100.
Dentre x\ge0, só x=0 zera y. Não há outro dia futuro em que o total volte a ser zero.

Resposta

a. 0 dias (hoje).
b. R$ 0,00.
c. Gráfico de y(x)=-0,8x^2-80x: parábola voltada para baixo, passa em (0,0) e decresce para valores negativos de y.
d. A única solução em x\ge0 de y(x)=0 é x=0.

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