Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula
, em que
é o lucro total,
é a receita total e
é o custo total da produção. Numa empresa que produziu
unidades, verificou-se que
-
-
Nessas condições, qual deve ser a produção
para que o lucro da empresa seja máximo?
Passo 1
O enunciado diz que o lucro total é dado por
, onde, para uma produção de
unidades,
e
O objetivo é achar o valor de
que maximiza
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial: calculamos
, depois sua derivada, igualamos a zero e confirmamos que se trata de um máximo.
Passo 2
Primeiro, montamos a função lucro:
Passo 3
Agora calculamos a derivada de
. Lembrando que a derivada de
é
e de
é
:
Passo 4
Para encontrar extremos, igualamos
:
Passo 5
Para verificar que esse ponto é um máximo, observamos a segunda derivada:
ou seja, a concavidade é para baixo, logo
é ponto de máximo.
Resposta
A produção que maximiza o lucro é
unidades.