Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L=R-C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que
  • R(x)=6000 x-x^{2}
  • C(x)=x^{2}-2000 x
Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?

Passo 1

O enunciado diz que o lucro total é dado por \,L=R-C, onde, para uma produção de x unidades,
R(x)=6000x - x^{2}
e
C(x)=x^{2}-2000x.
O objetivo é achar o valor de x que maximiza L(x). Para isso, vamos usar cálculo diferencial: calculamos L(x), depois sua derivada, igualamos a zero e confirmamos que se trata de um máximo.

Passo 2

Primeiro, montamos a função lucro:
L(x)=R(x)-C(x)=(6000x - x^{2}) - (x^{2}-2000x)
\;\;\;\;=6000x - x^{2} - x^{2} +2000x
\;\;\;\;=8000x - 2x^{2}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de L(x). Lembrando que a derivada de ax^{2} é 2ax e de bx é b:
L'(x)=\frac{d}{dx}(8000x - 2x^{2})=8000 - 4x.

Passo 4

Para encontrar extremos, igualamos L'(x)=0:
8000 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 8000 \quad\Longrightarrow\quad x = 2000.

Passo 5

Para verificar que esse ponto é um máximo, observamos a segunda derivada:
L''(x)=\frac{d}{dx}(8000 - 4x)=-4<0,
ou seja, a concavidade é para baixo, logo x=2000 é ponto de máximo.

Resposta

A produção que maximiza o lucro é x=2000 unidades.

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