Uma criança de 16,0 \mathrm{~kg}, em um balanço de 6,0 \mathrm{~m} de comprimento, move-se com uma rapidez de 3,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando o assento do balanço passa pelo seu ponto mais baixo. Despreze a resistência do ar e suponha que a criança não está forçando - balanço.
(a) (1,0) Considerando o ponto mais baixo do assento como o nível de energia potencial gravitacional nula ( U_{g}=0 ), qual será a altura h atingida pelo balanço?
(b) (1,0) Qual é o ângulo que o balanço forma com a vertical quando atinge seu ponto mais alto ?
(c) (0,5) Qual deve ser a velocidade no ponto mais baixo para que a altura atingida pelo balanço seja de 2,0 metros ?

Passo 1

O enunciado descreve uma criança de m=16,0\:\mathrm{kg} num balanço de comprimento L=6,0\:\mathrm{m}. No ponto mais baixo ela tem velocidade v=3,4\:\mathrm{m/s}. Desprezando atrito e forças não conservativas, usaremos a conservação da energia mecânica:
E_c + U_g = \text{constante}.

Passo 2

Definimos U_g=0 no ponto mais baixo. A energia total inicial é toda cinética:
E_i = \tfrac12\,m\,v^2.
No ponto mais alto a velocidade é zero, então:
E_f = m\,g\,h.
Igualando E_i=E_f:
m\,g\,h = \tfrac12\,m\,v^2 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{v^2}{2\,g} = \frac{(3,4)^2}{2\cdot9,8} \approx0,59\:\mathrm{m}.

Passo 3

A relação entre a altura h e o ângulo \theta num pendulo de comprimento L é
h = L - L\cos\theta = L\,(1-\cos\theta).
Logo
\cos\theta = 1 - \frac{h}{L} = 1 - \frac{0,59}{6,0} \approx0,9017,
\theta = \operatorname{arccos}(0,9017)\approx25,0^\circ.

Passo 4

Para que o balanço atinja h=2,0\:\mathrm{m} partindo do ponto mais baixo, basta ter
m\,g\,h = \tfrac12\,m\,v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot9,8\cdot2,0} \approx6,26\:\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) h\approx0,59\:\mathrm{m}
(b) \theta\approx25,0^\circ
(c) v\approx6,26\:\mathrm{m/s}

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