Encontre o campo magnético no ponto O de uma corrente I que atravessa dois condutores com os seguintes parâmetros:
(a) Raios a e b e ângulo \varphi conhecidos;

Passo 1

O enunciado dá um fio que passa por duas seções circulares ligadas em série:
– um laço completo de raio a (ângulo total 2\pi)
– um arco de raio b que subtende um ângulo central \varphi
Em comum, ambas estão no mesmo plano e queremos o campo magnético em O, o centro das curvas. Vamos usar a Lei de Biot–Savart e a fórmula padrão para campo de um arco circular no seu centro.

Passo 2

A Lei de Biot–Savart diz que, para um elemento de corrente \mathrm{d}\vec\ell,
\mathrm{d}\vec B \;=\;\frac{\mu_0\,I}{4\pi}\,\frac{\mathrm{d}\vec\ell\times\hat r}{r^2}.
Para um arco circular de raio R e ângulo \varphi (em radianos), tudo a uma distância fixa r=R do centro, o módulo do campo no centro é
B_{\rm arco} =\frac{\mu_0\,I}{4\pi\,R}\;\varphi,
e a direção é perpendicular ao plano, dada pela regra da mão direita seguindo o sentido do corrente.

Passo 3

No caso do laço completo de raio a temos \phi_{\rm laço}=2\piç. Assim,
B_a =\frac{\mu_0\,I}{4\pi\,a}\;(2\pi) =\frac{\mu_0\,I}{2\,a}.

Passo 4

No caso do arco de raio b e ângulo \varphi, basta usar a fórmula do arco:
B_b =\frac{\mu_0\,I}{4\pi\,b}\;\varphi.

Passo 5

Como os dois trechos estão no mesmo plano e percorrem o mesmo sentido (figura), seus campos no centro somam em módulo e têm a mesma direção (perpendicular ao plano). Logo,
B_{\rm total} = B_a + B_b = \frac{\mu_0\,I}{2\,a} \;+\;\frac{\mu_0\,I\,\varphi}{4\pi\,b}.
O vetor \vec B é perpendicular ao plano do fio, apontando para dentro ou para fora conforme o sentido horário ou anti‐horário do corrente (regra da mão direita).

Resposta

B(O) =\frac{\mu_0\,I}{2\,a} \;+\;\frac{\mu_0\,I\,\varphi}{4\pi\,b},
com direção perpendicular ao plano, determinada pela regra da mão direita.

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