Estime o momento de inércia de uma barra fina e homogênea, de comprimento L e massa M, em relação a um eixo que passa, perpendicularmente, por uma de suas extremidades. Faça esta estimativa adotando, como modelo para a barra, três massas pontuais cada uma representando um terço da barra?
I=\frac{35}{108} M L^{2}

Passo 1

O enunciado pede estimar o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento L e massa M em relação a um eixo perpendicular que passa por uma de suas extremidades. Para isso, vamos substituir a barra por três massas pontuais de massa M/3 cada e usar a definição de momento de inércia para massa pontual:
I = \sum_{i} m_i\,r_i^2.

Passo 2

Dividimos a barra em três segmentos iguais de comprimento L/3. Cada segmento tem massa M/3 e seu centro de massa está no meio do segmento. Assim, as distâncias dos centros de massa à extremidade são:
r_1 = \tfrac{L}{6},\quad r_2 = \tfrac{L}{2},\quad r_3 = \tfrac{5L}{6}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de momento de inércia para cada massa pontual e somando,
I = \sum_{i=1}^3 m_i\,r_i^2 = \frac{M}{3}\Bigl[\bigl(\tfrac{L}{6}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{5L}{6}\bigr)^2\Bigr] = \frac{M L^2}{3}\,\frac{1 + 9 + 25}{36} = \frac{35}{108}\,M L^2.

Resposta

I = \frac{35}{108}\,M L^2

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