Duas hastes finas de massa desprezível estão rigidamente presas nas suas extremidades de modo a formarem um ângulo de 90^{\circ}. As hastes giram no plano xy com sua junção formando uma rótula na origem. Uma partícula de 75 g de massa está presa a uma das hastes a uma distância de 42 cm da origem, e uma partícula de 30 g de massa está presa a outra haste a uma distância de 65 cm da origem, calcule:
a) a inércia rotacional do conjunto;
b) suponha que a primeira haste está posicionada sobre o eixo x positivo e a segunda haste sobre o eixo y positivo. Uma força \mathbf{F}=\mathbf{4 i}+\mathbf{6 j} atua em ambas as partículas. Encontre a aceleração angular resultante.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de duas partículas ligadas em hastes sem massa e, em seguida, a aceleração angular produzida por uma força aplicada em cada partícula. Para isso vamos usar:
  1. Momento de inércia de partículas puntiformes:
I = \sum_i m_i r_i^2.
  1. Torque de uma força:
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}.
  1. Segunda lei de Newton para rotação:
\sum\tau = I\,\alpha.

Passo 2

Converter as unidades para o SI:
m_{1}=75\,\mathrm{g}=0,075\,\mathrm{kg},\quad r_{1}=42\,\mathrm{cm}=0,42\,\mathrm{m},
m_{2}=30\,\mathrm{g}=0,03\,\mathrm{kg},\quad r_{2}=65\,\mathrm{cm}=0,65\,\mathrm{m}.
Então o momento de inércia total é
I = m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2}.

Passo 3

Calcular numericamente I:
I = 0,075\cdot(0,42)^{2} \;+\; 0,03\cdot(0,65)^{2} =0,01323+0,012675 =0,025905\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.

Passo 4

Agora a força \mathbf{F}=4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j} atua em cada partícula.
Para m_{1} em \mathbf{r}_{1}=0,42\,\mathbf{i}:
\boldsymbol{\tau}_{1} =\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{F} =(0,42\,\mathbf{i})\times(4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}) =0,42\cdot6\,(\mathbf{i}\times\mathbf{j}) =2,52\,\mathbf{k}.
Para m_{2} em \mathbf{r}_{2}=0,65\,\mathbf{j}:
\boldsymbol{\tau}_{2} =\mathbf{r}_{2}\times\mathbf{F} =(0,65\,\mathbf{j})\times(4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}) =0,65\cdot4\,(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) =-2,6\,\mathbf{k}.
O torque resultante é
\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} =(2,52-2,6)\,\mathbf{k} =-0,08\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\,m}.

Passo 5

Aplicar \sum\tau = I\,\alpha para achar a aceleração angular:
\alpha = \frac{\tau_{\mathrm{net}}}{I} = \frac{-0,08}{0,025905} \approx -3,09\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
O sinal negativo indica que a rotação é no sentido horário (sentido -\mathbf{k}).

Resposta

(a) I=0,025905\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
(b) \alpha\approx -3,09\\ \mathrm{rad/s^{2}} (sentido horário).

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