Uma criança está atirando ovos de cima de um viaduto nos carros que passam logo abaixo dela. Por causa de uma curva, a criança só consegue ver os carros quando eles estão a 50 m de distância dela. A altura do viaduto é de 10 m e todos os carros têm velocidade de
. Nesse problema você pode usar
. Responda os itens a seguir:
(a) O objetivo é calcular quanto tempo
, depois de avistar o carro, que a criança deve soltar o ovo para atingir o capô de cada carro (que está a 1 m de altura do chão). Considere primeiro que o ovo é solto com velocidade inicial nula. Obtenha uma expressão relacionando
com todos os parâmetros descritos. Em seguida, aplique os valores e apresente uma estimativa numérica.
(b) Neste item, vamos considerar que o ovo pode ser arremessado com velocidade inicial
. Suponha que a criança escolhe jogá-lo 4 s após avistar o carro. Qual deve ser o valor de
para que ela acerte cada carro? Lembre-se de verificar o sinal de
.
(a) O objetivo é calcular quanto tempo
(b) Neste item, vamos considerar que o ovo pode ser arremessado com velocidade inicial
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá. Anota aí, devagarinho:
-
Perguntas:
- (a) Calcular o tempo
(após avistar o carro) em que a criança deve soltar o ovo, no caso em que o ovo é solto com velocidade inicial nula, e apresentar uma expressão geral envolvendo os parâmetros do problema e uma estimativa numérica. - (b) Considerando que a criança arremessa o ovo com velocidade inicial
, supondo que ela solta/joga o ovo s depois de avistar o carro, encontrar o valor de (com sinal correto) para acertar o capô.
- (a) Calcular o tempo
-
Dados fornecidos (vou dar nomes para os parâmetros para ficar claro):
- Distância em que a criança vê o carro:
(dado do enunciado). - Altura do viaduto (altura do ponto de lançamento):
(dado). - Altura do capô do carro (altura do ponto de impacto):
(dado). - Velocidade dos carros:
. Vou convertê-la para quando for usar: velocidade do carro. - Aceleração da gravidade:
(dado). - No item (a) o ovo é solto com velocidade inicial nula (verticalmente nula). No item (b) o ovo tem velocidade inicial vertical
(valor a determinar). - Observação importante de movimento: o ovo cai verticalmente (não há componente horizontal inicial relevante aqui), e o carro se aproxima horizontalmente a velocidade constante. Para o impacto ocorrer, o instante em que o ovo atinge
deve coincidir com o instante em que o carro passa debaixo da criança.
- Distância em que a criança vê o carro:
É isso que o enunciado pede e esses são os dados que vamos usar. A partir do Passo 2 começo a resolver de fato.
Passo 2
Escolher convenção e escrever as equações de movimento vertical (cinemática retilínea com aceleração constante), explicando a física.
- Convenção vertical: vou tomar para a vertical o sentido para baixo como positivo (isso facilita porque a gravidade fica com sinal positivo
). Assim: - posição vertical inicial do ovo:
. - posição do impacto:
. - deslocamento vertical (positivo para baixo) entre lançamento e impacto:
Mas como tomamos sentido para baixo positivo, a queda do ovo (do topo até o capô) tem magnitude e, em equações abaixo, usaremos como distância a percorrer para baixo.
- posição vertical inicial do ovo:
- Equação da posição vertical (para movimento com velocidade inicial
e aceleração ): Substituindo e rearranjando em termos de tempo de queda (tempo entre o lançamento e o impacto): Mas, como expliquei, com sentido para baixo positivo, a distância percorrida para baixo é , então podemos escrever (mais diretamente): onde é a componente vertical inicial (positiva se lançada para baixo, negativa se lançada para cima). Esta é a fórmula de cinemática que usaremos sempre: deslocamento = velocidade inicial × tempo + 1/2 × aceleração × tempo^2.
Explicação curta do que essa fórmula significa: ela vem da integração da aceleração constante
duas vezes — primeiro gera a velocidade
, depois a posição
.
Passo 3
Relacione o tempo de queda
com o tempo que o carro leva para ir da posição em que foi visto até ficar debaixo da criança. Explico a lógica de sincronização entre a queda e o movimento do carro.
- Linha do tempo e posições horizontais:
- No instante em que a criança avista o carro definiu-se
. Nesse instante a posição do carro em relação à vertical da criança é . - O carro move-se com velocidade constante
(m/s) em direção à criança, então sua posição é . - O carro passa exatamente debaixo da criança quando
. Assim o instante de chegada do carro sob a criança (desde o momento em que foi visto) é:
- No instante em que a criança avista o carro definiu-se
- Se a criança soltar/arremessar o ovo no instante
após ver o carro, então o tempo de queda do ovo até o impacto é , e o impacto deve ocorrer em . Para que o impacto seja no capô (isto é, quando o carro estiver debaixo), precisamos ter Portanto Essa é a condição de sincronismo: o tempo entre ver o carro e soltar o ovo é o tempo que resta até o carro chegar menos o tempo que o ovo demora a cair.
Passo 4
Resumir: as duas equações-chave que ligam os parâmetros são (1) a equação vertical que determina
e (2) a equação de sincronismo que determina
. Vou escrevê-las claramente.
- Equação vertical (tempo de queda
): Aqui: -
é a componente vertical inicial do ovo (positiva para baixo). -
é a aceleração da gravidade. -
é a diferença de altura a percorrer (aqui , , logo ).
-
- Equação de sincronismo (relação entre
e ): Aqui: -
é a distância inicial até o ponto debaixo (aqui ). -
é a velocidade do carro (em ).
-
No item (a) temos
. No item (b) queremos
que satisfaça a equação quando
é dado (4 s).
Passo 5
Resolver o item (a): derive expressão de
em termos dos parâmetros quando o ovo é solto com velocidade inicial nula (
), e então calcule numericamente.
- Com
, a equação vertical fica: Isolando : Substituindo na equação de sincronismo obtemos a expressão geral para : Essa é a expressão pedida: ela relaciona com todos os parâmetros do problema ( ). Interpretação: você espera até o carro estar a uma distância do ponto de baixo que seja exatamente o tempo de queda antes de ele chegar.
Agora a estimativa numérica. Primeiro converto a velocidade do carro:
- Velocidade dada:
. Convertendo para : É comum arredondar para . - Calcule
: - Calcule
: - Finalmente
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais)
.
Passo 6
Comentário prático (rápido): isso significa que, se a criança simplesmente largar o ovo (sem empurrar horizontalmente), ela deve esperar cerca de
s após avistar o carro para soltá-lo — assim o carro chegará debaixo exatamente quando o ovo atingir o capô. Respira, é só sincronizar tempo e queda.
Passo 7
Resolver o item (b): agora o ovo é arremessado com velocidade inicial vertical
. A criança escolhe soltar/jogar o ovo
s depois de ver o carro. Queremos achar
(com o sinal correto).
- Dados específicos para este item:
-
(tempo após ver o carro em que o ovo é lançado). - Tempo que o carro leva para chegar de
até debaixo da criança é, como antes, . - Logo o tempo de queda necessário para o ovo atingir o capô é
Ou seja, o ovo precisa percorrer a distância vertical em s.
-
- Escrevemos a equação vertical para
(positiva se lançada para baixo): Isolando : Agora substituímos , e : Então - Interpretação do sinal: como escolhemos a convenção com sentido para baixo positivo,
significa que o ovo deve ser lançado para baixo com velocidade de . Se quisermos escrever em termos de sentido “para cima/para baixo” sem a convenção, podemos dizer: o ovo deve ser arremessado para baixo com velocidade de magnitude . Se, por outro lado, alguém usasse a convenção oposta (para cima positivo), aí o sinal seria negativo: (porque é para baixo).
Passo 8
Checagem rápida de plausibilidade e comentário final de motivação:
- Tempo curto de queda quando ela espera 4 s (
s) exige uma velocidade inicial grande para cobrir os rapidamente; é razoável numericamente (muito rápido para uma criança, mas o problema pede o valor). - No item (a) o tempo de espera
foi menor que porque o ovo demora um tempo finito para cair; na prática a criança deve soltar antes do carro chegar se não empurrar o ovo para baixo.