Uma criança está atirando ovos de cima de um viaduto nos carros que passam logo abaixo dela. Por causa de uma curva, a criança só consegue ver os carros quando eles estão a 50 m de distância dela. A altura do viaduto é de 10 m e todos os carros têm velocidade de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Nesse problema você pode usar g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Responda os itens a seguir:
(a) O objetivo é calcular quanto tempo \tau, depois de avistar o carro, que a criança deve soltar o ovo para atingir o capô de cada carro (que está a 1 m de altura do chão). Considere primeiro que o ovo é solto com velocidade inicial nula. Obtenha uma expressão relacionando \tau com todos os parâmetros descritos. Em seguida, aplique os valores e apresente uma estimativa numérica.
(b) Neste item, vamos considerar que o ovo pode ser arremessado com velocidade inicial v_{0}. Suponha que a criança escolhe jogá-lo 4 s após avistar o carro. Qual deve ser o valor de v_{0} para que ela acerte cada carro? Lembre-se de verificar o sinal de v_{0}.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá. Anota aí, devagarinho:
  • Perguntas:
    1. (a) Calcular o tempo \tau (após avistar o carro) em que a criança deve soltar o ovo, no caso em que o ovo é solto com velocidade inicial nula, e apresentar uma expressão geral envolvendo os parâmetros do problema e uma estimativa numérica.
    2. (b) Considerando que a criança arremessa o ovo com velocidade inicial \,v_0, supondo que ela solta/joga o ovo \,4 s depois de avistar o carro, encontrar o valor de \,v_0 (com sinal correto) para acertar o capô.
  • Dados fornecidos (vou dar nomes para os parâmetros para ficar claro):
    • Distância em que a criança vê o carro: \,D=50\\ \mathrm{m} (dado do enunciado).
    • Altura do viaduto (altura do ponto de lançamento): \,H=10\\ \mathrm{m} (dado).
    • Altura do capô do carro (altura do ponto de impacto): \,h=1\\ \mathrm{m} (dado).
    • Velocidade dos carros: \,40\\ \mathrm{km/h}. Vou convertê-la para \mathrm{m/s} quando for usar: \,v= velocidade do carro.
    • Aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (dado).
    • No item (a) o ovo é solto com velocidade inicial nula (verticalmente nula). No item (b) o ovo tem velocidade inicial vertical \,v_0 (valor a determinar).
    • Observação importante de movimento: o ovo cai verticalmente (não há componente horizontal inicial relevante aqui), e o carro se aproxima horizontalmente a velocidade constante. Para o impacto ocorrer, o instante em que o ovo atinge \,y=h deve coincidir com o instante em que o carro passa debaixo da criança.
É isso que o enunciado pede e esses são os dados que vamos usar. A partir do Passo 2 começo a resolver de fato.

Passo 2

Escolher convenção e escrever as equações de movimento vertical (cinemática retilínea com aceleração constante), explicando a física.
  • Convenção vertical: vou tomar para a vertical o sentido para baixo como positivo (isso facilita porque a gravidade fica com sinal positivo \,g). Assim:
    • posição vertical inicial do ovo: \,y_0=H.
    • posição do impacto: \,y=h.
    • deslocamento vertical (positivo para baixo) entre lançamento e impacto: \Delta y = y - y_0 = h - H = -(H-h).Mas como tomamos sentido para baixo positivo, a queda do ovo (do topo até o capô) tem magnitude \,H-h e, em equações abaixo, usaremos \,H-h como distância a percorrer para baixo.
  • Equação da posição vertical (para movimento com velocidade inicial \,v_{0y} e aceleração \,g): H + v_{0y} t + \tfrac{1}{2} g t^{2} = y.Substituindo y=h e rearranjando em termos de tempo de queda T (tempo entre o lançamento e o impacto): v_{0y} T + \tfrac{1}{2} g T^{2} = h - H = -(H-h).Mas, como expliquei, com sentido para baixo positivo, a distância percorrida para baixo é \,H-h, então podemos escrever (mais diretamente): v_{0y} T + \tfrac{1}{2} g T^{2} = H-h,onde \,v_{0y} é a componente vertical inicial (positiva se lançada para baixo, negativa se lançada para cima). Esta é a fórmula de cinemática que usaremos sempre: deslocamento = velocidade inicial × tempo + 1/2 × aceleração × tempo^2.
Explicação curta do que essa fórmula significa: ela vem da integração da aceleração constante \,a=g duas vezes — primeiro gera a velocidade v(t)=v_{0y}+g t, depois a posição y(t)=H+v_{0y}t+\tfrac12 g t^2.

Passo 3

Relacione o tempo de queda T com o tempo que o carro leva para ir da posição em que foi visto até ficar debaixo da criança. Explico a lógica de sincronização entre a queda e o movimento do carro.
  • Linha do tempo e posições horizontais:
    • No instante em que a criança avista o carro definiu-se t=0. Nesse instante a posição do carro em relação à vertical da criança é x(0)=D.
    • O carro move-se com velocidade constante \,v (m/s) em direção à criança, então sua posição é \,x(t)=D - v t.
    • O carro passa exatamente debaixo da criança quando x(t)=0. Assim o instante de chegada do carro sob a criança (desde o momento em que foi visto) é: t_{\text{chegada}} = \frac{D}{v}.
  • Se a criança soltar/arremessar o ovo no instante \tau após ver o carro, então o tempo de queda do ovo até o impacto é T, e o impacto deve ocorrer em t=\tau + T. Para que o impacto seja no capô (isto é, quando o carro estiver debaixo), precisamos ter \tau + T = \frac{D}{v}.Portanto \tau = \frac{D}{v} - T.Essa é a condição de sincronismo: o tempo entre ver o carro e soltar o ovo é o tempo que resta até o carro chegar menos o tempo que o ovo demora a cair.

Passo 4

Resumir: as duas equações-chave que ligam os parâmetros são (1) a equação vertical que determina T e (2) a equação de sincronismo que determina \tau. Vou escrevê-las claramente.
  • Equação vertical (tempo de queda T): v_{0y} T + \tfrac{1}{2} g T^{2} = H - h.Aqui:
    • \,v_{0y} é a componente vertical inicial do ovo (positiva para baixo).
    • \,g é a aceleração da gravidade.
    • \,H-h é a diferença de altura a percorrer (aqui H=10\\ \mathrm{m}, h=1\\ \mathrm{m}, logo H-h=9\\ \mathrm{m}).
  • Equação de sincronismo (relação entre \tau e T): \tau = \frac{D}{v} - T.Aqui:
    • \,D é a distância inicial até o ponto debaixo (aqui D=50\\ \mathrm{m}).
    • \,v é a velocidade do carro (em \mathrm{m/s}).
No item (a) temos \,v_{0y}=0. No item (b) queremos \,v_{0y}=v_0 que satisfaça a equação quando \tau é dado (4 s).

Passo 5

Resolver o item (a): derive expressão de \tau em termos dos parâmetros quando o ovo é solto com velocidade inicial nula ( v_{0y}=0), e então calcule numericamente.
  • Com v_{0y}=0, a equação vertical fica: \tfrac{1}{2} g T^{2} = H - h.Isolando T: T = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}.Substituindo T na equação de sincronismo obtemos a expressão geral para \tau: \boxed{\displaystyle \tau = \frac{D}{v} - \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}.}Essa é a expressão pedida: ela relaciona \tau com todos os parâmetros do problema ( D,\\ v,\\ H,\\ h,\\ g). Interpretação: você espera até o carro estar a uma distância do ponto de baixo que seja exatamente o tempo de queda antes de ele chegar.
Agora a estimativa numérica. Primeiro converto a velocidade do carro:
  • Velocidade dada: 40\\ \mathrm{km/h}. Convertendo para \mathrm{m/s}: v = 40\\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 40 \times \frac{1000}{3600}\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = \frac{40000}{3600}\\ \mathrm{m/s} \approx 11{,}111\\ \mathrm{m/s}.É comum arredondar para v\approx 11{,}11\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcule T: T = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} = \sqrt{\frac{2\times 9}{10}} = \sqrt{\frac{18}{10}} = \sqrt{1{,}8} \approx 1{,}34164\\ \mathrm{s}.
  • Calcule \frac{D}{v}: \frac{D}{v} = \frac{50}{11{,}111\ldots} = 4{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Finalmente \tau = 4{,}5 - 1{,}34164 \approx 3{,}15836\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) \tau \approx 3{,}16\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Comentário prático (rápido): isso significa que, se a criança simplesmente largar o ovo (sem empurrar horizontalmente), ela deve esperar cerca de 3{,}16 s após avistar o carro para soltá-lo — assim o carro chegará debaixo exatamente quando o ovo atingir o capô. Respira, é só sincronizar tempo e queda.

Passo 7

Resolver o item (b): agora o ovo é arremessado com velocidade inicial vertical \,v_0. A criança escolhe soltar/jogar o ovo \,4 s depois de ver o carro. Queremos achar v_0 (com o sinal correto).
  • Dados específicos para este item:
    • \tau = 4\\ \mathrm{s} (tempo após ver o carro em que o ovo é lançado).
    • Tempo que o carro leva para chegar de D até debaixo da criança é, como antes, \,D/v=4{,}5\\ \mathrm{s}.
    • Logo o tempo de queda necessário para o ovo atingir o capô é T = t_{\text{chegada}} - \tau = \frac{D}{v} - \tau = 4{,}5 - 4 = 0{,}5\\ \mathrm{s}.Ou seja, o ovo precisa percorrer a distância vertical em T=0{,}5 s.
  • Escrevemos a equação vertical para v_{0y}=v_0 (positiva se lançada para baixo): v_{0} T + \tfrac{1}{2} g T^{2} = H - h.Isolando v_{0}: v_{0} = \frac{H-h - \tfrac{1}{2} g T^{2}}{T}.Agora substituímos H-h=9\\ \mathrm{m}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e T=0{,}5\\ \mathrm{s}: \tfrac{1}{2} g T^{2} = \tfrac{1}{2}\times 10\times (0{,}5)^{2} = 5\times 0{,}25 = 1{,}25\\ \mathrm{m}.Então v_{0} = \frac{9 - 1{,}25}{0{,}5} = \frac{7{,}75}{0{,}5} = 15{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação do sinal: como escolhemos a convenção com sentido para baixo positivo, \,v_{0}=+15{,}5\\ \mathrm{m/s} significa que o ovo deve ser lançado para baixo com velocidade de 15{,}5\\ \mathrm{m/s}. Se quisermos escrever em termos de sentido “para cima/para baixo” sem a convenção, podemos dizer: o ovo deve ser arremessado para baixo com velocidade de magnitude 15{,}5\\ \mathrm{m/s}. Se, por outro lado, alguém usasse a convenção oposta (para cima positivo), aí o sinal seria negativo: v_{0}=-15{,}5\\ \mathrm{m/s} (porque é para baixo).

Passo 8

Checagem rápida de plausibilidade e comentário final de motivação:
  • Tempo curto de queda quando ela espera 4 s ( T=0{,}5 s) exige uma velocidade inicial grande para cobrir os 9\\ \mathrm{m} rapidamente; 15{,}5\\ \mathrm{m/s} é razoável numericamente (muito rápido para uma criança, mas o problema pede o valor).
  • No item (a) o tempo de espera \tau foi menor que 4{,}5\\ \mathrm{s} porque o ovo demora um tempo finito para cair; na prática a criança deve soltar antes do carro chegar se não empurrar o ovo para baixo.

Resposta

\displaystyle \tau = \frac{D}{v} - \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \approx 3{,}16\\ \mathrm{s}.
\displaystyle v_{0}=+15{,}5\\ \mathrm{m/s} (positiva para baixo — ou seja, arremessar o ovo para baixo com magnitude 15{,}5\\ \mathrm{m/s}).

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