Uma criança possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor. Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a criança poderá realizar.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma criança que tem um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai tirar 12 moedas de forma aleatória. Nosso objetivo aqui é descobrir de quantas maneiras diferentes ela pode fazer essa retirada, considerando apenas a quantidade de moedas de cada tipo que ela retira.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com um problema de combinação, que faz parte da combinatória. A combinatória nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos selecionar itens de um conjunto.
Aqui, queremos saber de quantas formas podemos escolher 12 moedas onde as moedas são de três tipos diferentes. Vamos chamar:
  • $ x $ = número de moedas de dez centavos,
  • $ y $ = número de moedas de cinquenta centavos,
  • $ z $ = número de moedas de um real.
A equação que representa essa situação é:
x
onde $ x, y, z $ são números inteiros positivos ou zero.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos a fórmula de combinação com repetição. Essa fórmula nos diz quantas maneiras existem para distribuir $ n $ itens em $ k $ categorias. A fórmula é:
n
onde $ C $ representa o número de combinações.
No nosso caso:
  • $ n = 12 $ (as moedas que ela vai retirar),
  • $ k = 3 $ (os três tipos de moedas).
Substituindo na fórmula:
k

Passo 4

Agora, vamos calcular $ C(14, 2) $. A combinação $ C(n, p) $ é calculada por:
C(14, 2)
onde “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Calculando:
C(n, p)

Resposta

A criança poderá realizar 91 retiradas distintas desse grupo de 12 moedas.

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