Em uma urna, foram colocadas trinta bolas, numeradas de 1 a 30 . Uma dessas bolas foi sorteada aleatoriamente. Em relação a essa experiência, considerem-se os dois eventos abaixo. Evento A: {a bola sorteada tem número menor ou igual a 20. Evento B: {a bola sorteada tem número maior do que k.
Sabendo que
e
, determine o valor de k .
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma urna com 30 bolas, numeradas de 1 a 30. A gente vai tirar uma bola aleatoriamente e tem dois eventos:
- Evento A: A bola tirada tem número menor ou igual a 20.
- Evento B: A bola tirada tem número maior que $ k $, onde $ k < 20 $ e $ k $ é um número inteiro.
A gente sabe que a probabilidade da interseção desses dois eventos, ou seja, $ P(A \cap B) $, é igual a $ \frac{1}{6} $. O que a gente precisa descobrir é qual é o valor de $ k $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos combinados e usar um pouquinho de álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção dos eventos A e B, que é $ A \cap B $. Isso quer dizer que a bola tirada satisfaz as duas condições ao mesmo tempo: ela tem número menor ou igual a 20 e maior que $ k $.
Ou seja, as bolas que estão nessa interseção são aquelas que têm número entre $ k + 1 $ e 20.
Passo 3
Agora, vamos contar quantas bolas estão nesse intervalo. Como $ k $ é um número inteiro menor que 20, o número de bolas que satisfazem $ k < número \leq 20 $ é $ 20 - k $.
Por exemplo, se $ k = 15 $, teríamos bolas numeradas de 16 a 20, totalizando 5 bolas.
Passo 4
A probabilidade de acontecer $ A \cap B $ é a razão entre o número de bolas que satisfazem as duas condições e o total de bolas na urna.
Então, temos:
Sabemos que essa probabilidade é igual a $ \frac{1}{6} $, então podemos montar a equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ k $.
Multiplicando os dois lados por 30 para eliminar o denominador:
Agora, isolando $ k $:
Resposta
O valor de $ k $ é 15.