Em criptografia, a matriz de chave K é utilizada para cifrar e decifrar mensagens. Considere a seguinte matriz de chave K:
K=(llll 1 & 2 & 3 & 4 4 & 3 & 2 & 1 1 & 3 & 2 & 4 4 & 2 & 3 & 1 )
Calcule o determinate da matriz K para verificar se a cifra pode ser invertida. Uma cifra é invertível se o determinante da matriz é diferente de zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre criptografia e o uso de uma matriz de chave K para cifrar e decifrar mensagens. A nossa missão aqui é calcular o determinante dessa matriz K para ver se a cifra é invertível. Ou seja, se o determinante for diferente de zero, a cifra pode ser invertida. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz 4 times 4 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Ele nos diz algumas coisas sobre a matriz, como se ela pode ser invertida. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa; se for diferente de zero, ela tem.

Passo 3

Agora, como calcular o determinante de uma matriz 4 times 4 ? Existem várias maneiras, mas uma comum é usar a expansão por cofatores. Isso envolve escolher uma linha ou coluna e multiplicar cada elemento por seu cofator correspondente, somando ou subtraindo esses produtos.

Passo 4

Vamos usar a primeira linha para facilitar, já que não há zeros para simplificar aqui. A matriz K é:
K = 1 & 2 & 3 & 4 4 & 3 & 2 & 1 1 & 3 & 2 & 4 4 & 2 & 3 & 1

Passo 5

A fórmula para o determinante usando cofatores na primeira linha é:
det(K) = a11C11 - a12C12 + a13C13 - a14C14
onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores.

Passo 6

Vamos calcular cada cofator Cij . O cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j times det(Mij)
onde Mij é a matriz que sobra ao remover a i -ésima linha e j -ésima coluna.

Passo 7

Calculando cada cofator:
  1. C11 :
M11 = 3 & 2 & 1 3 & 2 & 4 2 & 3 & 1
det(M11) = 3(2 times 1 - 4 times 3) - 2(3 times 1 - 4 times 2) + 1(3 times 3 - 2 times 2) = 3(-10) - 2(-5) + 1(5) = -30 + 10 + 5 = -15
C11 = (-1)^1+1 times (-15) = 1 times (-15) = -15
  1. C12 :
M12 = 4 & 2 & 1 1 & 2 & 4 4 & 3 & 1
det(M12) = 4(2 times 1 - 4 times 3) - 2(1 times 1 - 4 times 4) + 1(1 times 3 - 2 times 4) = 4(-10) - 2(-15) + 1(-5) = -40 + 30 -5 = -15
C12 = (-1)^1+2 times (-15) = -1 times (-15) = 15
  1. C13 :
M13 = 4 & 3 & 1 1 & 3 & 4 4 & 2 & 1
det(M13) = 4(3 times 1 - 4 times 2) - 3(1 times 1 - 4 times 4) + 1(1 times 2 - 3 times 4) = 4(-5) - 3(-15) + 1(-10) = -20 + 45 -10 = 15
C13 = (-1)^1+3 times 15 = 1 times 15 = 15
  1. C14 :
M14 = 4 & 3 & 2 1 & 3 & 2 4 & 2 & 3
det(M14) = 4(3 times 3 - 2 times 2) - 3(1 times 3 - 2 times 4) + 2(1 times 2 - 3 times 4) = 4(5) - 3(-5) + 2(-10) = 20 + 15 -20 = 15
C14 = (-1)^1+4 times 15 = -1 times 15 = -15

Passo 8

Agora, substituímos os cofatores na fórmula do determinante:
det(K) = (1 times -15) - (2 times 15) + (3 times 15) - (4 times -15)
det(K) = -15 - 30 + 45 + 60 = 60

Resposta

O determinante da matriz K é boxed60 . Como é diferente de zero, a cifra é invertível.

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