Determine a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},
onde
a_{n} = \frac{1}{2^{n}}\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^{n^{2}}.
O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas e, em particular, podemos usar o critério da raiz (ou da razão) para testar convergência.

Passo 2

O critério da raiz diz que, se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|},
então
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o critério é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{2^{n}}}\;\cdot\;\sqrt[n]{\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^{n^{2}}} = \frac{1}{2}\;\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}.
Como bem conhecido,
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} = e.
Logo
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{1}{2}\,e = \frac{e}{2}.

Passo 4

Como \frac{e}{2}>1, pelo critério da raiz a série diverge. Além disso, o termo geral a_{n} não tende a zero (cresce geometricamente), o que já basta para concluir a divergência.

Resposta

A série diverge.

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