II. Demonstre a condição de Cauchy: Se \left\{s_{n}\right\}_{\mathbb{N}^{+}}ế uma sequência de números reais, a série s_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} é convergente se, para qualquer \varepsilon>0, existe n_{0}>0 tal que \left|s_{m}-s_{n}\right|<\varepsilon sempre que m, n>n_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a condição de Cauchy para séries de números reais: mostrar que a série
\sum_{k=1}^\infty a_k
converge se, e somente se, a sequência de somatórios parciais
s_n = \sum_{k=1}^n a_k
satisfaz que, para todo \varepsilon>0, existe n_0 tal que
\lvert s_m - s_n\rvert < \varepsilon sempre que m,n>n_0.
Vamos usar a definição de convergência de sequência, a desigualdade triangular e a completude de \mathbb{R}.

Passo 2

Provar ( \Rightarrow): suponha \lim_{n\to\infty}s_n=S. Dado \varepsilon>0, existe N tal que
\lvert s_n - S\rvert<\frac{\varepsilon}{2} \quad\text{para todo }n>N.
Para quaisquer m,n>N, pela desigualdade triangular,
\lvert s_m - s_n\rvert = \bigl\lvert(s_m - S)+(S - s_n)\bigr\rvert \le \lvert s_m - S\rvert + \lvert s_n - S\rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Assim, a condição de Cauchy é satisfeita.

Passo 3

Provar ( \Leftarrow): suponha que, para todo \varepsilon>0, existe n_0 tal que
\lvert s_m - s_n\rvert<\varepsilon sempre que m,n>n_0.
Isso significa que \{s_n\} é uma sequência de Cauchy. Como \mathbb{R} é completo, toda sequência de Cauchy em \mathbb{R} converge. Portanto \{s_n\} converge e a série \sum_{k=1}^\infty a_k é convergente.

Resposta

A série \sum_{k=1}^\infty a_k converge se, e somente se, sua sequência de somatórios parciais \{s_n\} satisfaz a condição de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe n_0 tal que
\lvert s_m - s_n\rvert<\varepsilon \quad\text{sempre que }m,n>n_0.

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