Critério de comparação: Sejam ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} e ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} duas séries de termos positivos. Demonstre o seguinte:
Se a série ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} diverge e a_{n} ≤ b_{n} ∀ n ∈ \mathbb{N}^{+}, entāo a série ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} também diverge.

Passo 1

O enunciado pede para provar o critério de comparação direta para séries de termos não negativos. Temos duas séries
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty}b_{n} com a_{n}\ge0 e b_{n}\ge0 para todo n, e sabe-se que
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} diverge e ainda que
\displaystyle a_{n}\le b_{n} para todo n.
Vamos usar o conceito de soma parcial e a ideia de que, se uma sequência que tende a +\infty é dominada por outra, esta também tende a +\infty.

Passo 2

Definimos as somas parciais das duas séries da seguinte forma:
A_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k},
B_{n} = \sum_{k=1}^{n}b_{k}.
Como a_{k}\le b_{k} para todo k\in\mathbb{N}^{+}, ao somar essa desigualdade de k=1 até k=n obtemos
A_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k} \;\le\; \sum_{k=1}^{n}b_{k} = B_{n}.

Passo 3

Pelo enunciado, \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} diverge, o que significa que
\lim_{n\to+\infty}A_{n} = +\infty.
Mas como para todo n vale
A_{n}\le B_{n},
segue que
\lim_{n\to+\infty}B_{n} = +\infty.
Ou seja, as somas parciais B_{n} também crescem sem limite, o que implica que \sum_{n=1}^{+\infty}b_{n} diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n} diverge.

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