Critério de comparação: Sejam
e
duas séries de termos positivos. Demonstre o seguinte:
Se a série
diverge e
, entāo a série
também diverge.
Se a série
Passo 1
O enunciado pede para provar o critério de comparação direta para séries de termos não negativos. Temos duas séries
e
com
e
para todo
, e sabe-se que
diverge e ainda que
para todo
.
Vamos usar o conceito de soma parcial e a ideia de que, se uma sequência que tende a é dominada por outra, esta também tende a
.
Vamos usar o conceito de soma parcial e a ideia de que, se uma sequência que tende a
Passo 2
Definimos as somas parciais das duas séries da seguinte forma:
Como
para todo
, ao somar essa desigualdade de
até
obtemos
Passo 3
Pelo enunciado,
diverge, o que significa que
Mas como para todo
vale
segue que
Ou seja, as somas parciais
também crescem sem limite, o que implica que
diverge.
Resposta
A série
diverge.