XII. Demonstre que uma série alternada \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} a_{n} é absolutamente convergente, se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} a_{n}
é absolutamente convergente, sob a hipótese de que a série de termos não-negativos
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
converge. O conteúdo usado será a definição de convergência absoluta de séries numéricas.

Passo 2

Recordemos a definição de convergência absoluta: uma série \sum u_{n} é absolutamente convergente se
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl|u_{n}\bigr|
converge. Nesse caso, temos u_{n}=(-1)^{n+1}a_{n}.

Passo 3

Como a_{n}\ge0 para todo n, temos
\bigl|(-1)^{n+1}a_{n}\bigr| = a_{n}.
Logo, a série dos módulos é
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl|(-1)^{n+1}a_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}.

Passo 4

Pela hipótese, \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} converge. Portanto
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl|(-1)^{n+1}a_{n}\bigr|
converge, isto é, \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}a_{n} é absolutamente convergente.

Resposta

A série alternada é absolutamente convergente porque
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl|(-1)^{n+1}a_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}<\infty.

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