XII. Demonstre que uma série alternada \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} a_{n} é absolutamente convergente, se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} a_{n}
é absolutamente convergente, sob a hipótese de que a série de termos não-negativos
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
converge. O conteúdo usado será a definição de convergência absoluta de séries numéricas.
Passo 2
Recordemos a definição de convergência absoluta: uma série \sum u_{n} é absolutamente convergente se