Sejam \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} duas séries numéricas e \alpha \in \mathbb{R}. Mostre o seguinte:
\operatorname{Se} \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é divergente e \beta \neq 0, então a série \sum_{n=1}^{+\infty} \beta \cdot a_{n} é também divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} é divergente e \beta\neq0, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\beta\,a_{n} também é divergente. Vamos usar o fato de que uma série converge se, e somente se, a sequência de seus somatórios parciais converge, e que multiplicar uma sequência por escalar não nulo preserva (ou não) sua convergência.

Passo 2

Definimos as sequências de somatórios parciais:
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}a_{n}, \quad T_{N} = \sum_{n=1}^{N}\beta\,a_{n}.
Pela linearidade da soma e distributividade de escalares, temos
T_{N} = \beta \sum_{n=1}^{N}a_{n} = \beta\,S_{N}.

Passo 3

Façamos prova por contradição. Suponha que \sum_{n=1}^{\infty}\beta\,a_{n} converja. Então a sequência (T_{N}) converge para algum limite L\in\mathbb{R}. Como \beta\neq0, o escalar 1/\beta existe e
S_{N} = \frac{1}{\beta}\,T_{N}
converge para L/\beta. Isso implica que \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} seria convergente, contradição com a hipótese de divergência.

Resposta

Portanto, \sum_{n=1}^{\infty}\beta\,a_{n} é divergente.

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