Sejam
e
duas séries numéricas e
. Mostre o seguinte:
é divergente e
, então a série
é também divergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a série
é divergente e
, então a série
também é divergente. Vamos usar o fato de que uma série converge se, e somente se, a sequência de seus somatórios parciais converge, e que multiplicar uma sequência por escalar não nulo preserva (ou não) sua convergência.
Passo 2
Definimos as sequências de somatórios parciais:
Pela linearidade da soma e distributividade de escalares, temos
Passo 3
Façamos prova por contradição. Suponha que
converja. Então a sequência
converge para algum limite
. Como
, o escalar
existe e
converge para
. Isso implica que
seria convergente, contradição com a hipótese de divergência.
Resposta
Portanto,
é divergente.