Sejam \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} duas séries numéricas e \alpha \in \mathbb{R}. Mostre o seguinte:
Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e convergente e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} é divergente, a série \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge.

Passo 1

O enunciado fala de duas séries numéricas
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} e \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}
e de um real \alpha (que aqui não será usado). Pede-se para mostrar que, se
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} converge, e
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}b_{n} diverge,
    então a série
    \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr) também diverge.
    Conteúdo: comportamento de soma de séries e propriedades de limites de sequências de somas parciais.

Passo 2

Definimos as somas parciais:
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}a_{n},\quad T_{N} = \sum_{n=1}^{N}b_{n},\quad U_{N} = \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr).
Por hipótese, \{S_{N}\} converge a um limite finito S, e \{T_{N}\} não converge.

Passo 3

Observe que
U_{N} = \sum_{n=1}^{N}(a_{n}+b_{n}) = \sum_{n=1}^{N}a_{n} + \sum_{n=1}^{N}b_{n} = S_{N} + T_{N}.
Logo
T_{N} = U_{N} - S_{N}.

Passo 4

Suponha, por contradição, que \{U_{N}\} convergisse a um limite U.
Como \{S_{N}\} converge a S, a diferença
T_{N} = U_{N} - S_{N}
seria também uma sequência convergente (diferença de sequências convergentes). Isso contraria a hipótese de que \{T_{N}\} diverge.

Passo 5

Portanto, nossa suposição de que \{U_{N}\} converge está errada. Concluímos que \{U_{N}\} não converge, ou seja,
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr)
diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr) diverge.

Exercícios relacionados