Sejam
e
duas séries numéricas e
. Mostre o seguinte:
Se
e convergente e
é divergente, a série
diverge.
Se
Passo 1
O enunciado fala de duas séries numéricas
e
e de um real (que aqui não será usado). Pede-se para mostrar que, se
e de um real
-
converge, e -
diverge,
então a série
também diverge.
Conteúdo: comportamento de soma de séries e propriedades de limites de sequências de somas parciais.
Passo 2
Definimos as somas parciais:
Por hipótese,
converge a um limite finito
, e
não converge.
Passo 3
Observe que
Logo
Passo 4
Suponha, por contradição, que
convergisse a um limite
.
Como converge a
, a diferença
Como
seria também uma sequência convergente (diferença de sequências convergentes). Isso contraria a hipótese de que
diverge.
Passo 5
Portanto, nossa suposição de que
converge está errada. Concluímos que
não converge, ou seja,
diverge.
Resposta
A série
diverge.