XIII. Critério de Leibniz: Seja a série alternada
uma série de termos alternados,
. Demonstre que esta série que satisfaz as condiçōes:
a)
é decrescente.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série alternada
onde
, converge sempre que
(a) a sequência é decrescente e
(b) .
O conteúdo é o Critério de Leibniz para séries alternadas. Vamos usar o comportamento das somas parciais e o fato de que .
(a) a sequência
(b)
O conteúdo é o Critério de Leibniz para séries alternadas. Vamos usar o comportamento das somas parciais e o fato de que
Passo 2
Definimos a
-ésima soma parcial
Primeiro, mostremos que a subsequência das somas com índice par,
, é crescente.
Para isso calculemos a diferença
Para isso calculemos a diferença
Como
é decrescente,
, logo
ou seja,
. Portanto
é crescente.
Passo 3
Agora mostramos que
é limitada por cima. Note que
pois cada par
. Assim
para todo
.
Logo é crescente e limitada acima, e portanto converge a um limite
.
Logo
Passo 4
De modo análogo, consideremos a subsequência
.
A diferença
A diferença
(pois
) mostra que
é decrescente.
Além disso
Além disso
portanto
é limitada por baixo. Logo
converge a um limite
.
Passo 5
Para concluir, notamos que
pois
. Assim
. Como as duas subsequências convergem ao mesmo limite, a sequência completa
também converge a esse limite.
Resposta
A série alternada
converge sempre que
(a) for decrescente e
(b) .
(a)
(b)