XIII. Critério de Leibniz: Seja a série alternada S=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} a_{n} uma série de termos alternados, \operatorname{com} a_{n} \geq 0. Demonstre que esta série que satisfaz as condiçōes:
a) \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}+ é decrescente.
b) \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série alternada
S = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n},
onde a_{n}\ge0, converge sempre que
(a) a sequência \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} é decrescente e
(b) \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
O conteúdo é o Critério de Leibniz para séries alternadas. Vamos usar o comportamento das somas parciais e o fato de que a_{n}\to0.

Passo 2

Definimos a m-ésima soma parcial
S_{m}=\sum_{n=1}^{m}(-1)^{n+1}a_{n}.
Primeiro, mostremos que a subsequência das somas com índice par, \{S_{2k}\}, é crescente.
Para isso calculemos a diferença
S_{2(k+1)}-S_{2k} =\bigl(S_{2k}+(-1)^{2k+1}a_{2k+1}+(-1)^{2k+2}a_{2k+2}\bigr)-S_{2k} =-a_{2k+1}+a_{2k+2}.
Como \{a_{n}\} é decrescente, a_{2k+1}\ge a_{2k+2}, logo
S_{2(k+1)}-S_{2k}=-a_{2k+1}+a_{2k+2}\ge0,
ou seja, S_{2(k+1)}\ge S_{2k}. Portanto \{S_{2k}\} é crescente.

Passo 3

Agora mostramos que \{S_{2k}\} é limitada por cima. Note que
S_{2k} =a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots-a_{2k} \le a_{1},
pois cada par \bigl(-a_{2m}+a_{2m+1}\bigr)\le0. Assim S_{2k}\le a_{1} para todo k.
Logo \{S_{2k}\} é crescente e limitada acima, e portanto converge a um limite L^{+}.

Passo 4

De modo análogo, consideremos a subsequência \{S_{2k+1}\}.
A diferença
S_{2(k+1)+1}-S_{2k+1} =-a_{2k+2}+a_{2k+3}\le0
(pois a_{2k+2}\ge a_{2k+3}) mostra que \{S_{2k+1}\} é decrescente.
Além disso
S_{2k+1} =a_{1}-a_{2}+\cdots+a_{2k+1}\ge a_{1}-a_{2},
portanto \{S_{2k+1}\} é limitada por baixo. Logo \{S_{2k+1}\} converge a um limite L^{-}.

Passo 5

Para concluir, notamos que
L^{-}-L^{+} =\lim_{k\to\infty}\bigl(S_{2k+1}-S_{2k}\bigr) =\lim_{k\to\infty}a_{2k+1} =0,
pois \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Assim L^{-}=L^{+}. Como as duas subsequências convergem ao mesmo limite, a sequência completa \{S_{m}\} também converge a esse limite.

Resposta

A série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n} converge sempre que
(a) \{a_{n}\} for decrescente e
(b) \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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