5: Critério da razão: Dada a série
, para
, seja
. Então
(a) se
, a série diverge;
(b) se
, a série converge;
© se
, o critério nada diz sobre a série.
(a) se
(b) se
© se
Passo 1
O enunciado apresenta a série
com
e define o limite
. Precisamos usar esse limite para concluir sobre a convergência ou divergência da série pelo Critério da Razão.
Passo 2
Se
, escolhemos um número
tal que
. Como
, para
grande vem
. Daí
, e por indução
para algum
. Como
é geométrica convergente (porque
), pelo critério da comparação a série
converge.
Passo 3
Se
, escolhemos
tal que
. Como
, para
grande vale
. Assim
, o que faz
crescer exponencialmente e, em particular, não tender a zero. Logo os termos não vão a zero e a série diverge.
Passo 4
Se
, o critério da razão não fornece informação. Nessa situação é preciso recorrer a outros testes (como o critério de raiz, comparação ou integral).
Resposta
(a) Se
, a série diverge. (b) Se
, a série converge. © Se
, o critério é inconclusivo.