5: Critério da razão: Dada a série sumn=1^infty an com an >= 0, para n >= k, seja L=lim n infty an+1an. Então
(a) se L>1, a série diverge;
(b) se L<1, a série converge;
© se L=1, o critério nada diz sobre a série.

Passo 1

O enunciado apresenta a série sumn=1^inftyan com an>=0 e define o limite L=limntoinftyan+1an. Precisamos usar esse limite para concluir sobre a convergência ou divergência da série pelo Critério da Razão.

Passo 2

Se L<1, escolhemos um número rho tal que L. Como an+1anto L, para n grande vem an+1an. Daí an+1, e por indução an< aN,rho^,n-N para algum N. Como sum rho^,n é geométrica convergente (porque rho<1), pelo critério da comparação a série sum an converge.

Passo 3

Se L>1, escolhemos sigma tal que 1. Como an+1anto L, para n grande vale an+1an>sigma>1. Assim an+1>an,sigma, o que faz an crescer exponencialmente e, em particular, não tender a zero. Logo os termos não vão a zero e a série diverge.

Passo 4

Se L=1, o critério da razão não fornece informação. Nessa situação é preciso recorrer a outros testes (como o critério de raiz, comparação ou integral).

Resposta

(a) Se L>1, a série diverge. (b) Se L<1, a série converge. © Se L=1, o critério é inconclusivo.

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