Um CSTR será alimentado por uma mistura gasosa contendo 80 \mathrm{~mol} \% de A e o restante de R com vazão volumétrica de 5000 \mathrm{~L} / \mathrm{h} da mistura medidos nas CNTP. O processo será isotérmico, e desejase obter, na saída do retor, 2 mol de A por 5 mol de R. A reação: A \rightarrow 1 / 2 R. As condições de operação serão 60^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 3,5 \mathrm{~atm}. Que volume terá o reator se a constante de velocidade nas condições de operação for igual a 135 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{h} (Considere reação irreversível e elementar). (Resposta: \mathrm{V}= 735,5L).

Passo 1

Vamos organizar bem o que o enunciado dá e o que pede, para não se perder no calor da prova.
  • Enunciado (informações dadas):
    • Mistura de alimentação gasosa com 80\% mol de A e 20\% mol de R.
    • Vazão volumétrica da mistura medida nas CNTP: \dot V_{\text{CNTP}} = 5000\\ \mathrm{L/h}.
    • Condições de operação: T=60^\circ\mathrm{C} e P=3{,}5\\ \mathrm{atm}.
    • Reação (irreversível, elementar): A \rightarrow \tfrac{1}{2}R.
    • Constante de velocidade (nas condições de operação): k = 135\\ \mathrm{L/(mol\cdot h)}.
    • Deseja-se, na saída do reator, obter a razão 2 mol de A para 5 mol de R (isto é, A:R = 2:5 no produto).
    • Pedem: volume do CSTR, \;V.
  • O que precisamos encontrar / as perguntas:
    • Determinar o volume V do reator CSTR que garante a composição saída desejada, usando a cinética fornecida.
Observações importantes (do enunciado):
  • A cinética é dita “elementar”, porém a constante fornecida tem unidades \mathrm{L/(mol\cdot h)}. Essas unidades são típicas de uma reação de segunda ordem em concentração (por exemplo r = k C_A^2). Por isso, ao longo da resolução vou considerar a lei de velocidade compatível com as unidades informadas, ou seja:
r = k\, C_A^2,
onde r é a velocidade de consumo de A em \mathrm{mol/(L\cdot h)} e C_A é a concentração de A em \mathrm{mol/L}.
  • Se na prova o professor espera a lei r=kC_A (primeira ordem), seria preciso que k tivesse unidades \mathrm{h^{-1}}. Como o enunciado deu k com unidades \mathrm{L/(mol\cdot h)}, adotamos a cinética de segunda ordem para manter a consistência dimensional.

Passo 2

Escrevendo as quantidades de entrada (vazões molares) e convertendo vazão volumétrica para as condições de operação.
  1. Primeiro, convertemos a vazão volumétrica medida nas CNTP para a vazão volumétrica nas condições de operação usando a lei dos gases ideais (a vazão volumétrica escala como V\propto T/P). A relação é:
\dot V_{\text{op}} = \dot V_{\text{CNTP}} \cdot \frac{T_{\text{op}}/P_{\text{op}}}{T_{\text{CNTP}}/P_{\text{CNTP}}}.
Usamos T_{\text{CNTP}}=273{,}15\\ \mathrm{K} e P_{\text{CNTP}}=1\\ \mathrm{atm}. A temperatura de operação é T_{\text{op}}=60^\circ\mathrm{C}=333{,}15\\ \mathrm{K} e P_{\text{op}}=3{,}5\\ \mathrm{atm}. Assim:
\dot V_{\text{op}} = 5000\cdot\frac{333{,}15/3{,}5}{273{,}15/1} =5000\cdot\frac{333{,}15}{273{,}15}\cdot\frac{1}{3{,}5}.
Calculemos numericamente passo a passo:
\frac{333{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}22089,\qquad \frac{1}{3{,}5}\approx 0{,}285714,
\dot V_{\text{op}} \approx 5000\cdot 1{,}22089\cdot 0{,}285714 \approx 1744{,}10\\ \mathrm{L/h}.
  1. Agora a concentração total do gás nas condições de operação (ideal-gás):
C_{\text{tot}}=\frac{P_{\text{op}}}{R\,T_{\text{op}}},
onde R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}. Logo:
C_{\text{tot}}=\frac{3{,}5}{0{,}082057\cdot 333{,}15}\approx 0{,}12809\\ \mathrm{mol/L}.
  1. Vazões molares totais de entrada:
\dot n_{\text{tot}} = C_{\text{tot}}\cdot \dot V_{\text{op}} \approx 0{,}12809\cdot 1744{,}10 \approx 223{,}42\\ \mathrm{mol/h}.
  1. Vazões molares de A e R na alimentação (inlet):
\dot n_{A0} = 0{,}8\cdot \dot n_{\text{tot}} \approx 0{,}8\cdot 223{,}42 \approx 178{,}74\\ \mathrm{mol/h},
\dot n_{R0} = 0{,}2\cdot \dot n_{\text{tot}} \approx 44{,}68\\ \mathrm{mol/h}.

Passo 3

Determinar a conversão de A exigida para obter a razão de saída A:R=2:5.
  • Denotamos por X a conversão de A:
\dot n_A = \dot n_{A0}(1-X)
é a vazão molar de A na saída. Pela estequiometria, o R é formado na razão de 0{,}5 mol de R por mol de A consumido, logo a vazão de R na saída é:
\dot n_R = \dot n_{R0} + 0{,}5\cdot \dot n_{A0}X.
  • Exigimos a razão na saída:
\frac{\dot n_A}{\dot n_R}=\frac{2}{5}.
Substituindo \dot n_A=\dot n_{A0}(1-X) e \dot n_R=\dot n_{R0}+0{,}5\dot n_{A0}X:
\frac{\dot n_{A0}(1-X)}{\dot n_{R0} + 0{,}5\dot n_{A0}X}=\frac{2}{5}.
  • Simplificamos dividindo numerador e denominador por \dot n_{A0} e lembrando que \dot n_{R0}/\dot n_{A0}=0{,}25 (porque 80\% A e 20\% R na alimentação):
\frac{1-X}{0{,}25 + 0{,}5 X}=\frac{2}{5}.
  • Resolvendo:
5(1-X)=2(0{,}25+0{,}5X)
5 - 5X = 0{,}5 + X
5 - 0{,}5 = 6X
4{,}5 = 6X \quad\Rightarrow\quad X = \frac{4{,}5}{6} = 0{,}75.
Portanto a conversão necessária é \;X=0{,}75 (ou 75\%).

Passo 4

Expressar o balanço de massa do CSTR e relacionar com a lei de velocidade escolhida.
  • Balanço em regime estacionário para A (fluxo de entrada menos saída menos consumo por reação = 0):
\dot n_{A0} - \dot n_A - r_A V = 0,
onde r_A é a taxa volumétrica de consumo de A (em \mathrm{mol/(L\cdot h)}) e V é o volume do reator em \mathrm{L}.
  • Como \dot n_A = \dot n_{A0}(1-X), a quantidade de A consumida por hora é \dot n_{A0}X. Assim:
r_A V = \dot n_{A0} X.
Logo
V=\frac{\dot n_{A0} X}{r_A}.
  • A lei de velocidade adotada (pelo motivo das unidades do k) é de segunda ordem em A:
r_A = k\, C_A^2,
onde C_A é a concentração de A no reator (igual à concentração na saída, pois CSTR mistura perfeitamente). E
C_A = \frac{\dot n_A}{\dot V_{\text{op}}} = \frac{\dot n_{A0}(1-X)}{\dot V_{\text{op}}}.
Substituindo r_A na expressão para V:
V = \frac{\dot n_{A0} X}{k\; C_A^2} = \frac{\dot n_{A0} X}{k\; \left(\dfrac{\dot n_{A0}(1-X)}{\dot V_{\text{op}}}\right)^2}.
Simplificando:
V = \frac{X\;\dot V_{\text{op}}^{\,2}}{k\;\dot n_{A0}\;(1-X)^2}.
Esta fórmula é muito prática: depende apenas de X, do \dot V_{\text{op}}, de \dot n_{A0} e de k.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular V.
Recordando os números obtidos:
\dot V_{\text{op}} \approx 1744{,}10\\ \mathrm{L/h},\qquad \dot n_{A0} \approx 178{,}74\\ \mathrm{mol/h},
X = 0{,}75,\qquad k = 135\\ \mathrm{L/(mol\cdot h)}.
Usando a fórmula do passo anterior:
V = \frac{X\;\dot V_{\text{op}}^{\,2}}{k\;\dot n_{A0}\;(1-X)^2}.
Calculemos cada parte com cuidado:
  1. (1-X)^2 = (0{,}25)^2 = 0{,}0625.
  2. \dot V_{\text{op}}^{\,2} \approx (1744{,}10)^2 \approx 3\,041\,756\\ \mathrm{(L^2/h^2)}.
  3. Produto k\;\dot n_{A0}\;(1-X)^2 \approx 135\cdot 178{,}74\cdot 0{,}0625.
Calcule:
178{,}74\cdot 0{,}0625 = 11{,}17125,
135\cdot 11{,}17125 = 1508{,}263.
  1. Numerador X\;\dot V_{\text{op}}^{\,2} = 0{,}75\cdot 3\,041\,756 \approx 2\,281\,317.
  2. Finalmente:
V \approx \frac{2\,281\,317}{1\,508{,}263} \approx 1{,}513{,}6\\ \mathrm{L}.
Portanto, com a lei de velocidade r=kC_A^2 e k=135\\ \mathrm{L/(mol\cdot h)}, obtemos:
V \approx 1513{,}6\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Interpretação final e observações (para a prova — o que checar rapidamente)
  • Resultado obtido: V\approx 1513{,}6\\ \mathrm{L} usando cinética de segunda ordem r=kC_A^2 porque as unidades de k (L·mol{-1}·h{-1}) indicam segunda ordem.
  • Se na prova o enunciado realmente esperava V=735{,}5\\ \mathrm{L} (valor que você citou), verifique imediatamente:
    • se a lei de velocidade correta é de primeira ordem r=kC_A (então o valor de k teria unidades \mathrm{h^{-1}});
    • se o valor numérico de k fornecido está em outra base de concentração ou precisa ajuste (às vezes k é dado em unidades diferentes ou referidas a outra base de volume);
    • se a razão 2:5 foi interpretada como fração molar (isto é y_A=2/7) ou como vazão molar — aqui ambos os entendimentos coincidem para o balanço de estado estacionário, mas sempre confirme;
    • se há algum fator estequiométrico adicional a considerar na velocidade (por exemplo, se a velocidade dada fosse expressa por mol de produto em vez de consumo de reagente).
  • Na hora da prova: escreva explicitamente a hipótese sobre a lei de velocidade (ordem), porque a unidade do k dita a ordem e isso muda totalmente o resultado.

Resposta

1513,6 L

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