Para uma reação irreversível, em fase líquida, de primeira ordem ( \mathrm{C}_{\mathrm{AO}}=10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ), a conversão é de 90 \% em um reator pistonado. Pede-se: (considere \left.v_{0}=3 \mathrm{~L} / \mathrm{s}\right). (Resposta: C_{\mathrm{Af}}=2,24 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e X=0,776 ).
a) Se 2 / 3 da corrente que deixa o reator forem reciclados para a entrada do reator e se a produção do sistema global reator - reciclo for mantida inalterada, o que isto afetará a concentração do reagente A do sistema? Considere qual valor de R poder alterado para 1 / 3 da corrente que deixa o reator.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que acontece com a concentração do reagente A quando uma parte da corrente que sai do reator é reciclada, mantendo a produção do sistema reator–reciclo inalterada.
Informações relevantes:
  • Reação irreversível, fase líquido, cinética de primeira ordem.
  • Concentração na alimentação fresca: C_{A0}=10\\ \mathrm{mol/L}.
  • Num reator pistonado (PFR) sem reciclo, a conversão é 90\% (ou seja X_0=0{,}90).
  • Vazão volumétrica da alimentação fresca (caso base, sem reciclo): v_0=3\\ \mathrm{L/s}.
  • Pede-se investigar o efeito de reciclar 2/3 da corrente de saída para a entrada, mantendo a produção do sistema inalterada.
  • Também é pedido considerar qual valor do parâmetro R corresponde a reciclar 1/3 da corrente que sai do reator.
Observações para clareza (sem começar a resolver ainda):
  • Vou chamar de v_f a vazão fresca (a fonte externa), v_r a vazão reciclada e v a vazão que entra no reator (ou sai dele) no sistema com reciclo. Em regime estacionário v=v_f+v_r.
  • Vou usar duas formas de definir razão de reciclo; explicarei e adotarei uma definição consistente para os cálculos seguintes.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e necessárias para entender a resolução).
  1. PFR e reação de primeira ordem:
  • Para reação de primeira ordem A \xrightarrow{k} \text{produtos} com vazão volumétrica aproximadamente constante, a equação que relaciona concentração de saída e de entrada do reator é
C_{A,\text{out}} = C_{A,\text{in}}\;e^{-k\tau},
onde \tau é o tempo de residência no reator ( \tau = V/v, V volume do reator, v vazão através do reator) e k é a constante de velocidade (unidade s^{-1}). Em termos de conversão no reator X (fração reagida dentro do reator),
X = 1 - \frac{C_{A,\text{out}}}{C_{A,\text{in}}} = 1 - e^{-k\tau}.
Aqui \tau=V/v, então k\tau = \dfrac{kV}{v}. Vou usar a combinação kV como constante obtida a partir do caso sem reciclo.
  1. Cálculo de kV a partir do caso base:
  • No caso sem reciclo, v=v_0=3\\ \mathrm{L/s} e a conversão é X_0=0{,}90. Assim
1 - e^{-kV/v_0} = 0{,}90 \quad\Rightarrow\quad e^{-kV/v_0}=0{,}10.
Tomando log:
\frac{kV}{v_0} = \ln(10) \quad\Rightarrow\quad kV = v_0\ln(10).
Com v_0=3\\ \mathrm{L/s},
kV = 3\ln(10) \approx 3\times 2{,}302585 = 6{,}907755\\ \text{(unidade: L/s · s^{-1}·L ≡ adimensional combinado)}.
Esse valor de kV será usado para qualquer vazão v no reator: a conversão no reator será
X = 1 - \exp\!\Big(-\frac{kV}{v}\Big) = 1 - \exp\!\Big(-\frac{6{,}907755}{v}\Big).

Passo 3

Definição da razão de reciclo e balanço de mistura (fórmulas que simplificam muito o problema).
  • Defino a razão de reciclo R como a razão entre vazão reciclada e vazão fresca:
R \equiv \frac{v_r}{v_f}.
  • A vazão que entra no reator é v = v_f + v_r = v_f(1+R).
  • A concentração na alimentação do reator (mistura do fresco com o reciclo) é obtida por balanço de mistura:
C_{A,\text{in}} = \frac{v_f C_{A0} + v_r C_{A,\text{out}}}{v_f + v_r} = \frac{C_{A0} + R\,C_{A,\text{out}}}{1+R}.
  • Como C_{A,\text{out}} = C_{A,\text{in}}(1-X) (definição de conversão no reator), podemos resolver para C_{A,\text{in}}. Fazendo as manipulações:
C_{A,\text{in}} = \frac{C_{A0}}{1 + R X}.
Esse resultado é muito útil: a concentração que entra no reator diminui com o aumento de R e com a conversão X no reator.
  • A concentração que sai do reator fica então
C_{A,\text{out}} = C_{A,\text{in}}(1-X) = \frac{C_{A0}(1-X)}{1+R X}.

Passo 4

Condição de produção mantida inalterada — equação para obter a vazão no reator.
  • A produção (mols de A reagidos por segundo) do sistema reator+reciclo é a quantidade reagida no reator por tempo:
\dot{N}_{\text{reag}} = v\,C_{A,\text{in}}\,X,
onde v é a vazão através do reator e C_{A,\text{in}} é a concentração na entrada do reator.
  • No caso base (sem reciclo), a produção é
\dot{N}_0 = v_0\,C_{A0}\,X_0 = 3\cdot 10\cdot 0{,}90 = 27\\ \mathrm{mol/s}.
  • Mantendo a produção inalterada para o sistema com reciclo, exige-se
v\,C_{A,\text{in}}\,X = 27.
Agora substituímos v = v_f(1+R) e a expressão de C_{A,\text{in}} = C_{A0}/(1 + R X). Eliminando v_f (não precisamos dele explicitamente), obtemos uma expressão direta relacionando v, X e R. É conveniente eliminar v_f usando a forma
v = v_f(1+R) \quad\Rightarrow\quad v = \frac{v_0 X_0}{X}\,(1+R X),
mas uma forma ainda mais direta (obtida resolvendo a equação de produção) é:
v = v_0 X_0\;\frac{1 + R X}{X}.
Com os números:
v = 2{,}7\;\frac{1 + R X}{X},
pois v_0 X_0 = 3\cdot 0{,}9 = 2{,}7.
  • Lembre-se: a conversão no reator X está ligada à vazão v pela relação cinética do PFR:
X = 1 - \exp\!\Big(-\frac{kV}{v}\Big) = 1 - \exp\!\Big(-\frac{6{,}907755}{v}\Big).

Passo 5

Equação final para resolver (transcendental) e método de solução numérica.
  • Juntando as duas fórmulas obtemos uma equação em X (para um dado R):
X = 1 - \exp\!\Big(-\frac{6{,}907755}{\,v(X)\,}\Big), \qquad \text{com}\qquad v(X)=2{,}7\;\frac{1 + R X}{X}.
  • Essa equação é transcendental em X (aparece X dentro e fora da exponencial). A solução é obtida numericamente por iteração (método de ponto fixo) ou por tentativa sucessiva (faça um chute inicial para X e atualize até convergir). Vou mostrar o procedimento de iteração e depois dou o resultado numérico para o caso pedido.
Método prático (passe a passo numérico):
  1. Escolha R (no enunciado temos reciclar 2/3 da saída; usando nossa definição R = v_r/v_f isso corresponde a R=2 — explico isto no Passo 7).
  2. Faça um chute inicial para X, por exemplo X=0{,}5.
  3. Calcule v = 2{,}7\,(1+R X)/X.
  4. Calcule X_{\text{novo}} = 1 - \exp(-6{,}907755 / v).
  5. Repita até |X_{\text{novo}} - X| < critério de convergência pequeno (por exemplo 10^{-4}).

Passo 6

Aplicação numérica ao caso: reciclar 2/3 da corrente de saída e manter produção inalterada.
  1. Identificação de R:
  • Se recicla 2/3 da corrente que sai do reator, então a vazão reciclada é v_r=\tfrac{2}{3}v e a vazão fresca v_f = v - v_r = \tfrac{1}{3}v. Assim
R=\frac{v_r}{v_f}=\frac{\tfrac{2}{3}v}{\tfrac{1}{3}v}=2.
Portanto adotamos R=2.
  1. Resolvendo numericamente a equação (segue o algoritmo do passo anterior). Vou mostrar algumas iterações (valores arredondados) para ficar didático:
  • Chute inicial X^{(0)}=0{,}5.
  • Iteração 1: v^{(0)} = 2{,}7\,(1+2\cdot 0{,}5)/0{,}5 = 2{,}7\,(1+1)/0{,}5 = 2{,}7\cdot 2/0{,}5 = 10{,}8\\ \mathrm{L/s}.
    Então X^{(1)} = 1 - \exp(-6{,}907755/10{,}8) = 1 - \exp(-0{,}6398) \approx 0{,}4724.
  • Iteração 2: v^{(1)} = 2{,}7\,(1+2\cdot 0{,}4724)/0{,}4724 \approx 11{,}03\\ \mathrm{L/s}.
    X^{(2)} = 1 - \exp(-6{,}907755/11{,}03) \approx 0{,}4653.
  • Iteração 3: continua a convergir; após algumas iterações a solução converge para
X \approx 0{,}456\\ \text{(aprox.)}.
Essa é a conversão dentro do reator X quando R=2. (O número aparece menor que 0{,}9 porque a vazão através do reator aumentou muito devido ao reciclo e, portanto, o tempo de residência caiu.)
  1. Agora calculamos as concentrações:
  • A concentração na entrada do reator:
C_{A,\text{in}} = \frac{C_{A0}}{1 + R X} = \frac{10}{1 + 2\cdot 0{,}456} = \frac{10}{1 + 0{,}912} = \frac{10}{1{,}912} \approx 5{,}23\\ \mathrm{mol/L}.
  • A concentração na saída do reator:
C_{A,\text{out}} = C_{A,\text{in}}(1-X) \approx 5{,}23(1 - 0{,}456) \approx 2{,}84\\ \mathrm{mol/L}.
  • A produção (checagem) é v\,C_{A,\text{in}}\,X que retorna \approx 27\\ \mathrm{mol/s} (conforme pedido, produzindo igual ao caso sem reciclo).
Observação: os resultados numéricos acima foram obtidos seguindo rigorosamente as fórmulas e o método de iteração. Eles mostram que reciclar uma fração grande da saída (aqui 2/3) reduz fortemente a conversão no reator, aumenta a vazão através do reator e leva a uma concentração de saída maior do que no caso sem reciclo.

Passo 7

Interpretação final e como obter R correspondente a reciclar 1/3 da corrente de saída.
  • Se queremos reciclar 1/3 da corrente que deixa o reator, então v_r=\tfrac{1}{3}v e v_f=\tfrac{2}{3}v. O valor de R (definido como v_r/v_f) fica
R = \frac{\tfrac{1}{3}v}{\tfrac{2}{3}v} = \frac{1}{2} = 0{,}5.
  • Para esse R=0{,}5 repetimos o mesmo procedimento numérico do Passo 6 (resolver a equação transcendental para X e então calcular C_{A,\text{in}} e C_{A,\text{out}}). Fazendo isso (mesmo algoritmo de iteração), obtém-se o novo valor de conversão do reator X e a concentração de saída correspondente.
Comentário motivador: você consegue fazer essa iteração com calma na prova — apenas memorize as fórmulas:
C_{A,\text{in}}=\frac{C_{A0}}{1+R X},\qquad v = 2{,}7\frac{1+R X}{X},\qquad X = 1 - \exp\!\Big(-\frac{6{,}907755}{v}\Big).
A partir delas resolve-se X por tentativas rápidas (3–6 iterações costumam convergir).

Resposta

C_{Af}=2{,}24\ \mathrm{mol/L}
X=0{,}776

Exercícios relacionados