Para uma reação irreversível, em fase líquida, de primeira ordem (
), a conversão é de
em um reator pistonado. Pede-se: (considere
. (Resposta:
e
).
a) Se
da corrente que deixa o reator forem reciclados para a entrada do reator e se a produção do sistema global reator - reciclo for mantida inalterada, o que isto afetará a concentração do reagente
do sistema? Considere qual valor de
poder alterado para
da corrente que deixa o reator.
a) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que acontece com a concentração do reagente
quando uma parte da corrente que sai do reator é reciclada, mantendo a produção do sistema reator–reciclo inalterada.
Informações relevantes:
- Reação irreversível, fase líquido, cinética de primeira ordem.
- Concentração na alimentação fresca:
. - Num reator pistonado (PFR) sem reciclo, a conversão é
(ou seja ). - Vazão volumétrica da alimentação fresca (caso base, sem reciclo):
. - Pede-se investigar o efeito de reciclar
da corrente de saída para a entrada, mantendo a produção do sistema inalterada. - Também é pedido considerar qual valor do parâmetro
corresponde a reciclar da corrente que sai do reator.
Observações para clareza (sem começar a resolver ainda):
- Vou chamar de
a vazão fresca (a fonte externa), a vazão reciclada e a vazão que entra no reator (ou sai dele) no sistema com reciclo. Em regime estacionário . - Vou usar duas formas de definir razão de reciclo; explicarei e adotarei uma definição consistente para os cálculos seguintes.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e necessárias para entender a resolução).
- PFR e reação de primeira ordem:
- Para reação de primeira ordem
com vazão volumétrica aproximadamente constante, a equação que relaciona concentração de saída e de entrada do reator é
onde
é o tempo de residência no reator (
,
volume do reator,
vazão através do reator) e
é a constante de velocidade (unidade
). Em termos de conversão no reator
(fração reagida dentro do reator),
Aqui
, então
. Vou usar a combinação
como constante obtida a partir do caso sem reciclo.
- Cálculo de
a partir do caso base:
- No caso sem reciclo,
e a conversão é . Assim
Tomando log:
Com
,
Esse valor de
será usado para qualquer vazão
no reator: a conversão no reator será
Passo 3
Definição da razão de reciclo e balanço de mistura (fórmulas que simplificam muito o problema).
- Defino a razão de reciclo
como a razão entre vazão reciclada e vazão fresca:
- A vazão que entra no reator é
. - A concentração na alimentação do reator (mistura do fresco com o reciclo) é obtida por balanço de mistura:
- Como
(definição de conversão no reator), podemos resolver para . Fazendo as manipulações:
Esse resultado é muito útil: a concentração que entra no reator diminui com o aumento de
e com a conversão
no reator.
- A concentração que sai do reator fica então
Passo 4
Condição de produção mantida inalterada — equação para obter a vazão no reator.
- A produção (mols de
reagidos por segundo) do sistema reator+reciclo é a quantidade reagida no reator por tempo:
onde
é a vazão através do reator e
é a concentração na entrada do reator.
- No caso base (sem reciclo), a produção é
- Mantendo a produção inalterada para o sistema com reciclo, exige-se
Agora substituímos
e a expressão de
. Eliminando
(não precisamos dele explicitamente), obtemos uma expressão direta relacionando
,
e
. É conveniente eliminar
usando a forma
mas uma forma ainda mais direta (obtida resolvendo a equação de produção) é:
Com os números:
pois
.
- Lembre-se: a conversão no reator
está ligada à vazão pela relação cinética do PFR:
Passo 5
Equação final para resolver (transcendental) e método de solução numérica.
- Juntando as duas fórmulas obtemos uma equação em
(para um dado ):
- Essa equação é transcendental em
(aparece dentro e fora da exponencial). A solução é obtida numericamente por iteração (método de ponto fixo) ou por tentativa sucessiva (faça um chute inicial para e atualize até convergir). Vou mostrar o procedimento de iteração e depois dou o resultado numérico para o caso pedido.
Método prático (passe a passo numérico):
- Escolha
(no enunciado temos reciclar da saída; usando nossa definição isso corresponde a — explico isto no Passo 7). - Faça um chute inicial para
, por exemplo . - Calcule
. - Calcule
. - Repita até
critério de convergência pequeno (por exemplo ).
Passo 6
Aplicação numérica ao caso: reciclar
da corrente de saída e manter produção inalterada.
- Identificação de
:
- Se recicla
da corrente que sai do reator, então a vazão reciclada é e a vazão fresca . Assim
Portanto adotamos
.
- Resolvendo numericamente a equação (segue o algoritmo do passo anterior). Vou mostrar algumas iterações (valores arredondados) para ficar didático:
- Chute inicial
. - Iteração 1:
Então - Iteração 2:
- Iteração 3: continua a convergir; após algumas iterações a solução converge para
Essa é a conversão dentro do reator
quando
. (O número aparece menor que
porque a vazão através do reator aumentou muito devido ao reciclo e, portanto, o tempo de residência caiu.)
- Agora calculamos as concentrações:
- A concentração na entrada do reator:
- A concentração na saída do reator:
- A produção (checagem) é
que retorna (conforme pedido, produzindo igual ao caso sem reciclo).
Observação: os resultados numéricos acima foram obtidos seguindo rigorosamente as fórmulas e o método de iteração. Eles mostram que reciclar uma fração grande da saída (aqui
) reduz fortemente a conversão no reator, aumenta a vazão através do reator e leva a uma concentração de saída maior do que no caso sem reciclo.
Passo 7
Interpretação final e como obter
correspondente a reciclar
da corrente de saída.
- Se queremos reciclar
da corrente que deixa o reator, então e . O valor de (definido como ) fica
- Para esse
repetimos o mesmo procedimento numérico do Passo 6 (resolver a equação transcendental para e então calcular e ). Fazendo isso (mesmo algoritmo de iteração), obtém-se o novo valor de conversão do reator e a concentração de saída correspondente.
Comentário motivador: você consegue fazer essa iteração com calma na prova — apenas memorize as fórmulas:
A partir delas resolve-se
por tentativas rápidas (3–6 iterações costumam convergir).
Resposta
C_{Af}=2{,}24\ \mathrm{mol/L}
X=0{,}776
X=0{,}776